Основные понятия: Часть 2

Системы координат

Уже в определении системы отсчёта (<<системы координат любого рода>>) заложено многообразие различных систем координат. Мы поговорим про три наиболее часто встречающихся вида.

Прямоугольная декартова система координат Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат O_x, O_y и O_z . Оси координат пересекаются в точке O , которая называется началом координат.

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z . Координата x равна длине отрезка O B , координата y - длине отрезка O C , координата z - длине отрезка O D в выбранных единицах измерения. Отрезки O B, O C и O D определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям O_{y z}, O_{x z} и O_{x y} соответственно.

Координата x называется абсциссой точки A , координата y - ординатой точки A , координата z - аппликатой.

Символически это записывают так:

A(x, y, z), или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

x_A, y_A, z_A, и т.п.

0.1 Сферическая система координат - трёхмерная система координат, в которой каждая точка пространства определяется тремя числами (r, \theta, \varphi) , где r - расстояние до начала координат (радиальное расстояние), а \theta и \varphi - зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Зенит - направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут - угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Если рассматривать сферическую систему координат относительно декартовой системы O x y z , фундаментальной плоскостью будет плоскость x y , зенитным углом точки, заданной радиус-вектором P , будет угол между P и осью z , а азимутом — угол между проекцией P на плоскость x y и осью x . Это объясняет названия углов и то, что сферическая система координат может служить обобщением множества видов систем небесных координат.

0.2 Если заданы сферические координаты точки (r, \theta, \varphi) , то переход к декартовым осуществляется по формулам:

\left\{\begin{array}{l}

x=r \sin \theta \cos \varphi \\

y=r \sin \theta \sin \varphi \\

z=r \cos \theta

\end{array}\right. Обратно, от декартовых к сферическим:

\left\{\begin{array}{l}

r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\

\theta= \arccos \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=arctg \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\

\varphi= arctg \frac{y}{x}

\end{array}\right. Полярная система координат - двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами - полярным углом и полярным радиусом.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым лучом, или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат, или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r ) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата также называется полярным углом, или азимутом, и обозначается \varphi , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в данную точку.

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0^{\circ} до 360^{\circ} . Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

0.4 Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z ), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Точка P даётся как (\rho, \varphi, z) . В терминах прямоугольной системы координат:

- \rho \geqslant 0 - расстояние от O до P^{\prime} , ортогональной проекции точки P на плоскость X Y . Или то же самое, что расстояние от P до оси Z .

- 0 \leqslant \varphi<360^{\circ} - угол между осью X и отрезком O P^{\prime} .

- z равна аппликате точки P .

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось Z взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр (цилиндрическая поверхность) в прямоугольных координатах имеет уравнение x^2+y^2=c^2 , а в цилиндрических - очень простое уравнение \rho=c . Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».

0.3 Поворот прямоугольной системы координат

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остается неизменными.

0.5 Пусть начальный угол между отрезком, соединяющим начало координат и некоторую точку, преобразование координат которой мы собираемся произвести, равен \varphi

\left\{\begin{array} { l }

{ x = r \text { c o s } ( \theta + \varphi ) } \\

{ y = r \text { s i n } ( \theta + \varphi ) }

\end{array} , \text { или } \left\{\begin{array}{l}

x=r \cos \theta \cos \varphi-r \sin \theta \sin \varphi \\

y=r \sin \theta \cos \varphi+r \cos \theta \sin \varphi

\end{array} .\right.\right. Получаем координаты точки в системе:

\left\{\begin{array}{l}

x^{\prime}=r \cos \varphi \\

y^{\prime}=r \sin \varphi

\end{array}\right. Тогда

\left\{\begin{array}{l}

x=x^{\prime} \cos \theta-y^{\prime} \sin \theta \\

y=x^{\prime} \sin \theta+y^{\prime} \cos \theta

\end{array} .\right. Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они позволяют определить старые координаты ( x, y ) произвольной точки через новые координаты ( x^{\prime}, y^{\prime} ) этой же точки, и наоборот.