Основные понятия

Основные понятия Средняя скорость Рассмотрим несколько важных общих случаев определения средней скорости. Рассмотрим движение тела, состоящее из нескольких частей, для каждой из которых скорость постоянна. Пусть, для начала, время, затраченное на преодоление каждого участка одинаково. Иначе говоря $$t_1 = t_2 =\ ... \ = t_n,$$ где $n$ это количество участков. Тогда средняя скорость, по определению: $$v_{ср} = \frac{v_1 t_1 + v_2 t_2 + \ ... \ + v_n t_n}{t_1 + t_2 + \ ... \ + t_n} = \frac{1}{n}(v_1 + v_2 + \ ... \ + v_n).$$ Иначе говоря, в таком случае, средняя скорость это среднее арифметическое скоростей на отдельных участках. Теперь рассмотрим случай, когда расстояния, пройденные на каждом участке одинаковы. Иначе говоря $$l_1 = l_2 = \ ... \ = l_n,$$ Тогда средняя скорость, по определению: $$v_{ср} = \frac{l_1 + l_2 + \ ... \ + l_n}{l_1/v_1 + l_2/v_2 + \ ... \ + l_n/v_n} = \frac{n \cdot l_1}{l_1(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + \ ... \ + \frac{1}{v_n})} = \frac{n}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + \ ... \ + \frac{1}{v_n}}.$$ Иначе говоря, в таком случае, средняя скорость это среднее гармоническое скоростей на отдельных участках. Теперь рассмотрим важный частный случай. Пусть перемещение состоит из трёх частей. Пусть общее время равно $t$ (и неизвестно), общее расстояние равно $l$ (и так же неизвестно). Пусть время на первом участке равно $at$, а расстояние на втором участке равно $al,$ где $a$ это известное числовое отношение ($0 Понятно, что в таком случае: $xt_3 = t, xl_3 = l,$ где $x$ это некоторое неизвестное числовое отношение ($0 $$v_{ср} = \frac{v_1at + v_2(1 - a - x)t + v_{ср}xt}{t} = v_1a + v_2(1 - a - x) + v_{ср},$$ откуда $$v_1a = -v_2(1 - a - x) \ \Rightarrow \ \frac{v_1}{v_2}a + 1 - a = x.$$ Далее, снова записав определение средней скорости и упрощая, получаем: $$v_{ср} = \sqrt{v_1v_2}.$$ То есть в данном случсае средняя скорость это среднее геометрическое скоростей на первых двух участках.