Радиус кривизны: Часть 3

Задача 8

Условие

Отрезок проволоки изогнут в виде симметричного участка параболы и расположен так, что ось её симметрии вертикальна. На этот отрезок надевают маленькую бусинку массой m , удерживая её у одного из краёв проволоки. Затем бусинку отпускают без начальной скорости, и она начинает скользить по проволоке под действием силы тяжести. Найдите модуль силы, с которой бусинка будет давить на проволоку, находясь в самой нижней точке своей траектории. Трение пренебрежимо мало. Размеры L и H , указанные на рисунке, известны.

5c.3 Решение

Способ 1 Расставим силы действующие на бусинку в нижней точке (сила нормальной реакции опоры, сила тяжести). Также на бусинку будет действовать центростремительное ускорение, направленное в центр окружности, радиус которой равен радиусу кривизны параболы в этой точке.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось y для бусинки:

m a_{n}=N-m g. С учётом центростремительного ускорения:

m \frac{v^2}{r}=N-m g. По третьему закону Ньютона сила давления бусинки на стержень будет равна силе нормальной реакции опоры:

P=N=m\left(\frac{v^2}{r}+g\right). Скорость бусинки v в этой точке можно найти из закона сохранения энергии:

m g H=\frac{m v^2}{2} \Rightarrow v^2=2 g H. Следовательно,

P=m\left(\frac{2 g H}{r}+g\right). Определим радиус кривизны r(x)

\frac{1}{r(x)}=\frac{\left|y^{\prime \prime}(x)\right|}{\left(1+\left[y^{\prime}(x)\right]^2\right)^{3 / 2}}. В данной задаче, отрезок проволоки является параболой. Поместим параболу в начале координат (см. рис.). Тогда парабола будет описываться уравнением y(x)=b \cdot x^2 . Используя L и H найдём коэффициент b :

b=\frac{y(x)}{x^2}=\frac{H}{(L / 2)^2}=\frac{4 H}{L^2}. Далее используя уравнение для радиуса получим выражение:

\frac{1}{r(x)}=\frac{2 \cdot \frac{4 H}{L^2}}{\left(1+\left(2 \cdot \frac{4 H}{L^2} x\right)^2\right)^{3 / 2}}. Когда бусинка будет находится в нижней точке, координата x будет равна нулю:

\frac{1}{r(x=0)}=\frac{2 \cdot \frac{4 H}{L^2}}{1}=\frac{8 H}{L^2}. Тогда радиус кривизны будет равен:

r=\frac{L^2}{8 H}. Подставляя r в выражение для силы давления, в итоге получим:

P=m\left(\frac{2 g H \cdot 8 H}{L^2}+g\right)=m g\left(\frac{16 H^2}{L^2}+1\right). Способ 2

Данный способ позволяет решить задачу без знания уравнения кривизны. Из первого способа мы знаем уравнение нашей параболы:

y(x)=b \cdot x^2=\frac{4 H}{L^2} \cdot x^2. Исходя из того, что:

v_y=y^{\prime}(x) \quad u \quad a_y=y^{\prime \prime}(x). Получим следующее (в общем виде):

\begin{gathered}

v_y=2 b x \cdot v_x \\

a_y=2 b x \cdot a_x+2 b v_x^2

\end{gathered} Так как бусинка находится в нижней точке, то составляющая ускорения по оси x отсутствует ( a_x=0 ). Также отсутствует составляющая скорости по оси y \left(v_y=0\right. ) и тогда v_x=v , где v - скорость, определяемая ЗСЭ (см. в первом способе). Тогда уравнение для ускорения будет иметь вид (при x=0 ):

a_y=a_{n}=2 b v^2=2 \cdot \frac{4 H}{L^2} \cdot 2 g H=\frac{16 H^2}{L^2}. И в итоге сила давления на проволоку будет иметь вид:

P=N=m\left(a_{n}+g\right)=m g\left(\frac{16 H^2}{L^2}+1\right). Ответ m g\left(\frac{16 H^2}{L^2}+1\right).