Радиус кривизны: Часть 2

Задача 6

Условие

Два одинаковых маленьких шарика массы m связаны невесомой и нерастяжимой нитью длины l и покоятся на гладкой горизонтальной плоскости (см. рисунок).

5c.1 Правому шарику сообщается вертикальная скорость v_0 . Ускорение свободного падения g . Найдите радиус кривизны траектории верхнего шарика в момент, когда нить вертикальна.

Решение

Способ 1

Выберем систему координат, начало которой расположено в начальном положении центра масс системы, а оси x и y направим горизонтально и вертикально соответственно. Пусть в некоторый момент времени нить образует угол \alpha с горизонталью. Тогда координаты верхнего шарика

x=\frac{l}{2} \cos \alpha, \quad y=l \sin \alpha. Здесь мы воспользовались тем, что центр масс системы не смещается по горизонтали, а нить не провисает. Заметим, что траектория верхнего шарика эллипс с полуосями l и l / 2 с центром в начале координат. В верхней точке траектории x=0 , поэтому для нахождения радиуса кривизны нужно рассматривать малые x . Уравнение траектории

y=l \sqrt{1-\left(\frac{2 x}{l}\right)^2} \approx l-\frac{2 x^2}{l}. С другой стороны, траекторию вблизи верхней точки можно приблизить окружностью радиуса R , центр которой из соображений симметрии лежит на оси y . Уравнения окружности

y=l+\sqrt{R^2-x^2}-R \approx l-\frac{x^2}{2 R}. Сравнивая эти два уравнения, находим радиус кривизны

R=\frac{l}{4}. Способ 2

Когда нить вертикальна, скорость верхнего шарика v направлена горизонтально. Из сохранения горизонтальной проекции импульса системы получаем, что скорость нижнего шарика равна по величине и противоположна по направлению скорости верхнего. Из закона сохранения энергии

\frac{m v_0^2}{2}=2 \frac{m v^2}{2}+m g l. находим v^2=v_0^2 / 2-g l . В системе отсчёта (неинерциальной), в которой нижний шарик всё время неподвижен, верхний шарик движется по окружности радиуса l и его скорость в рассматриваемый момент равна 2 v , поэтому ускорение верхнего шарика направлено вниз и равно

a=\frac{(2 v)^2}{l}. Ускорение нижнего шарика в рассматриваемый момент равно нулю, поэтому ускорение верхнего шарика относительно инерциальной системы отсчёта тоже равно a=4 v^2 / l . В лабораторной системе отсчета верхний шарик движется со скоростью v , поэтому радиус кривизны его траектории

R=\frac{v^2}{a}=\frac{l}{4}. Ответ R=\frac{l}{4}.

Задача 7

Условие

В астрономии за единицу длины принято среднее расстояние R от Земли до Солнца, называемое астрономической единицей (1 а. е.). В геоцентрической системе отсчёта, связанной с Землей, Луна вращается по круговой орбите радиуса r_{л}=2.57 \cdot 10^{-3} а. е. В гелиоцентрической системе траектория нашего естественного спутника выглядит гораздо более сложно, поскольку Луна вращается вокруг Земли, которая в свою очередь вращается вокруг Солнца (вращение происходит в одну сторону).

5с.2 Вычислите радиусы кривизны r_{п} и r_{н} траектории Луны в гелиоцентрической системе отсчета во время полнолуния и новолуния.

Ответ выразите в астрономических единицах. Отметьте качественно положение соответствующих центров кривизны ( O_{п} и O_{н} ) на рисунке, на котором изображены Солнце и Земля. Отношение массы Земли к массе Солнца m_{3}/m_{с} = 3 \cdot 10^{-6} .

Решение

Пусть v_{3} - скорость Земли в системе отсчёта, связанной с Солнцем (гелиоцентрической), v_{л} - скорость Луны относительно Земли. Земля движется по окружности радиуса R . Запишем, используя закон всемирного тяготения:

a_3=\frac{v_{3}^2}{R}=G \frac{m_{С}}{R^2}. где G - гравитационная постоянная. Рассмотрим движение Луны в в системе отсчёта, связанной с Землей (геоцентрической). Пренебрегая гравитационным взаимодействием Луны с Солнцем и неинерциальностью данной системы отсчета, запишем

a_{л} = \frac{v_{л}^2}{r_{л}}=G \frac{m_{3}}{r_{л}^2}, отсюда получаем

v_{л}=v_{3} \sqrt{\frac{m_{3}}{m_{С}} \frac{R}{r_{л}}}. Рассмотрим полнолуние - момент максимального удаления Луны от Солнца. В системе отсчета Солнца:

\frac{\left(v_{3}+v_{л}\right)^2}{r_{п}}=G\left(\frac{m_{С}}{\left(R+r_{л}\right)^2}+\frac{m_{3}}{r_{л}^2}\right), откуда получаем:

r_{п}=R \frac{ \frac{r_{л}}{R}\left(\sqrt{\frac{r_{л}}{R}}+\sqrt{\frac{m_{3}}{m_{С}}}\right)^2}{ \left(\frac{r_{л}}{R}\right)^2+\frac{m_{3}}{m_{С}}\left(1+\frac{r_{л}}{R}\right)^2} \approx 0.73 \ \text { а. е. }. Аналогично для новолуния:

r_{н}=R \frac{ \frac{r_{л}}{R}\left(\sqrt{\frac{r_{л}}{R}}-\sqrt{\frac{m_{3}}{m_{С}}}\right)^2}{ \left(\frac{r_{л}}{R}\right)^2-\frac{m_{3}}{m_{С}}\left(1-\frac{r_{л}}{R}\right)^2} \approx 1.70 \text { а. е. } Ответ 0.73 \ \text { а. е.} ; 1.70 \text { а. е.} .