Кинематические связи: Часть 2

Циклоида

С движением колеса связана замечательная кривая, называемая циклоидой. Это траектория точки, закреплённой на ободе колеса.

2.2 2.1 2.3 Выведем параметрические уравнения x(a) , y(a) для циклоиды, где a некий абстрактный математический параметр.

Пусть центр колеса движется со скоростью v , радиус колеса r , а угловая скорость колеса равна \omega. Так как мы считаем, что колесо движется без проскальзывания v = \omega r, как уже было показано ранее. Пусть прошло время t с момента, когда точка находилась в контакте с поверхностью, по которому катится колесо. Тогда точка прошла угол \omega t, а центр прошёл расстояние vt.

Получаем, что координата x точки равна

x = vt - r \sin (\omega t). Для координаты y получаем

y = r - r \cos (\omega t). Сделаем замену a = \omega t. Тогда v = ar/t и

\begin{cases}

x = ra - r \sin a \\

y = r - r \cos a

\end{cases} Видим, что циклоида это периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 2 \pi r . За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида t=2 \pi k , где k - произвольное целое число.

У отдельной арки циклоиды есть ось симметрии, но нет центра симметрии, что очевидно.

Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль, потому что колесо в любой момент вращается вокруг своей нижней точки.

Длина арки циклоиды равна 8 r . Другими словами, длина одной ветви циклоиды равна учетверённому диаметру производящей окружности. Это свойство открыл Кристофер Рен в 1658 году. Докажем это свойство.

Малая дуга имеющая размер dS равна (по теореме Пифагора) \sqrt{dx^2 + dy^2} .

Найдём соответствующие дифференциалы:

\begin{cases}

dx = rda - r da \cos a \\

dy = r da \sin a

\end{cases} Тогда

(dS)^2 = r^2 (da)^2 + r^2 (da)^2 \cos^2 a - 2r^2 (da)^2 \cos a + r^2 (da)^2 \sin^2 a = 2r^2(da)^2(1 - cos a). Извлекая корень

dS = \sqrt{2} r \sqrt{1 - cos(a)} \ da. Применяя формулу понижения степени, получаем

dS = 2 r |sin(a/2)| \ da. На рассматриваемом участке sin(a/2) всюду положителен.

Интегрируем

S = 2r \int\limits_0^{2 \pi} sin(a/2) \ da = 4 r \cos \left(\frac{a}{2}\right) \Bigg|_{-\pi/2}^{\pi/2} - 4 r \cos \left(\frac{a}{2}\right) \Bigg|_{\pi/2}^{3\pi/2}. Получаем

S = 8r, что и требовалось доказать.

«Перевёрнутая» циклоида является кривой наискорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.

Два нижеследующих свойства, открытые Гюйгенсом, были им использованы для создания точных механических часов.

1) Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды. Это непосредственное следствие таутохронности.

2) Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной и параллельно сдвинутой от исходной так, что вершины переходят в «острия».

2.4 2.5 2.6 Невесомость нити

Зачастую, в задачах используется модель невесомой нити. Название уже утвердилось в таком виде, однако, правильнее было бы называть такую нить безмассовой: m_{нити} = 0. Рассмотрим малый участок такой безмассовой нити (натянутой). Пусть сила натяжения, действующая на верхний участок нити, равна T_2, а сила натяжения, действующая на нижний участок нити, равна T_1.

2.7 Запишем второй закон Ньютона для этого участка:

a \cdot dm = T_2 - T_1 - g \cdot dm. Из безмассовости нити следует dm = 0. Подставляя

0 = T_2 - T_1 \ \Rightarrow \ T_1 = T_2. Сформулируем словесно:

если невесомая (безмассовая) нить натянута, то сила натяжения вдоль всей нити одинакова.

Невесомость блока

Если блок невесом (снова исправим – безмассов), с ним можно провести похожие рассуждения.

2.8 Из отсутствия массы мгновенно следует отсутствие момента инерции. Запишем основное уравнение динамики вращательного движения, считая моменты относительно центра блока:

I \varepsilon = T_1 r - T_2 r \ \Rightarrow \ 0 = (T_1 - T_2) r \ \Rightarrow \ T_1 = T_2 = T. Теперь запишем второй закон Ньютона, учтя, что m = 0 :

0 = T_1 + T_2 - T_3 \ \Rightarrow \ T_3 = 2T_1 = 2T.