Кинематические связи: Часть 3

Нерастяжимость нити

Зачастую также используется модель нерастяжимой нити. Подразумевается, что длина нити не может увеличиться, то есть

\Delta L \leq 0. Если нить натянута, то длина нити также не может уменьшиться, откуда

\begin{cases}

\Delta L \geq 0 \\

T > 0

\end{cases} То есть, если нить натянута, то \Delta L = 0.

В таком случае, пока нить натянута, можно, аналогично модели твёрдого тела, констатировать v_{1z} = v_{2z} и a_{1z} = a_{2z}, где Z это ось, направленная вдоль нити.

Разберём задачу-пример.

Пример 2

Найдите ускорение всех грузов, зная m_1, m_2, m_3.

2.9

Введём вертикальную ось X , направленную вниз, 0 по которой установим на <<потолок>>. Груз m_3 и правый блок соединены нитью, длина которой не меняется. Назначим им общую координату x_3. Левый блок аналогично соединён с потолком и имеет координату 0. Среднему блоку назначим координату x_{бл} , грузу m_1 назначим координату x_1, грузу m_2 назначим координату x_2.

Рассмотрим теперь две нити (одна содержит красные участки, вторая зелёные).

2.10

Участки нитей, лежащие на блоках, не меняют своей длины. Запишем длину нити, содержащей красные участки.

L_1 = (x_1 - 0) + C + (x_{бл} - 0), где C это длина полуокружности левого блока. Перейдём к изменениям длин.

\Delta L_1 = 0 = \Delta x_1 + \Delta x_{бл}. Теперь разделим обе части на \Delta t:

0 = v_{x1} + v_{{x бл}}. Аналогично можем перейти к ускорениям:

0 = a_{x1} + a_{x бл}. Всё то же самое можно повторить для нити, содержащей зелёные участки

L_2 = (x_2 - x_{бл}) + (x_3 - x_{бл}) + (x_3 - 0) \ \Rightarrow \ 0 = a_{x2} + 2a_{x3} + 2a_{x бл}. Это и есть уравнения кинематических связей, теперь можно расставить силы натяжения и записать второй закон Ньютона для каждого из грузов.

Пусть сила натяжения нити, содержащей красные участки равна 2T . Тогда из условия невесомости блока получаем, что натяжение второй нити равна T.

Тогда

\begin{cases}

m_1 a_{x1} = m_1g - 2T \\

m_2 a_{x2} = m_2g - T \\

m_3 a_{x3} = m_3g - 2T \\

\end{cases} Полная система, содержащая и законы Ньютона, и уравнения кинематической связи:

\begin{cases}

m_1 a_{x1} = m_1g - 2T \\

m_2 a_{x2} = m_2g - T \\

m_3 a_{x3} = m_3g - 2T \\

0 = a_{x2} + 2a_{x3} + 2a_{x бл} \\

0 = a_{x1} + a_{x бл}

\end{cases} Решая, получаем:

\begin{cases}

a_{x1} = \frac{6m_2m_3 - m_1m_3 - 4m_1m_2}{4 m_2\left(m_1+m_3\right)+m_1 m_3} g, \\

\\

a_{x2} = 4 \frac{m_2\left(m_1+m_3\right)-m_1 m_3}{4 m_2\left(m_1+m_3\right)+m_1 m_3} g, \\

\\

a_{x3} = \frac{4m_2m_3 + m_1m_3 - 6m_1m_2}{4 m_2\left(m_1+m_3\right)+m_1 m_3} g.

\end{cases} Рассмотрим задачу-пример с комбинацией кинематических связей.

Пример 3

Катушка, на которую намотана нить, без проскальзывания и отрыва движется по горизонтальной поверхности, которая движется со скоростью v . Нить, как показано на рисунке, тянут вверх со скоростью 2v . Нить по катушке не проскальзывает и от неё не отрывается. Найдите скорость отмеченных цифрами точек катушки

9_3_2_л_2

Так как катушка без проскальзывания и отрыва движется по поверхности, скорость точки 4 равна v и направлена горизонтально, вправо. При этом скорость точки 3 по тем же соображениям, только связанным с нитью равна 2v и направлена вертикально вверх.

Рассмотрим центр катушки. Так как катушка является твёрдым телом, скорость центра в проекции на горизонтальную ось должна быть равна 0 (точка 3). Аналогично скорость центра в проекции на вертикальную ось должна быть равна 0 (точка 4). Значит центр катушки неподвижен и является МЦВ. При этом расстояния от центра до точек 3 и 4 одинаковые, а скорости точек 3 и 4 разные. Значит такая ситуация невозможна, поскольку не существует подходящей угловой скорости, а одна из точек тела неподвижна.

Специфические кинематические связи

Существуют искусственные кинематические связи. Например, в задаче, может быть в качестве факта сообщено, что некий угол или некое расстояние неизменны. Это тоже можно рассматривать как кинематическую связь, пусть она и не является в полном смысле естественной.