Кинематические связи

Кинематические связи Нерастяжимость нити Зачастую также используется модель нерастяжимой нити. Подразумевается, что длина нити не может увеличиться, то есть $$\Delta L \leq 0.$$ Если нить натянута, то длина нити также не может уменьшиться, откуда $$ \begin{cases} \Delta L \geq 0 \\ T > 0 \end{cases} $$ То есть, если нить натянута, то $\Delta L = 0.$ В таком случае, пока нить натянута, можно, аналогично модели твёрдого тела, констатировать $v_{1z} = v_{2z}$ и $a_{1z} = a_{2z},$ где $Z$ это ось, направленная вдоль нити. Разберём задачу-пример. Пример 2 Найдите ускорение всех грузов, зная $m_1,$ $m_2,$ $m_3.$ Введём вертикальную ось $X$, направленную вниз, 0 по которой установим на <<потолок>>. Груз $m_3$ и правый блок соединены нитью, длина которой не меняется. Назначим им общую координату $x_3.$ Левый блок аналогично соединён с потолком и имеет координату 0. Среднему блоку назначим координату $x_{бл}$, грузу $m_1$ назначим координату $x_1,$ грузу $m_2$ назначим координату $x_2.$ Рассмотрим теперь две нити (одна содержит красные участки, вторая зелёные). Участки нитей, лежащие на блоках, не меняют своей длины. Запишем длину нити, содержащей красные участки. $$L_1 = (x_1 - 0) + C + (x_{бл} - 0),$$ где $C$ это длина полуокружности левого блока. Перейдём к изменениям длин. $$\Delta L_1 = 0 = \Delta x_1 + \Delta x_{бл}.$$ Теперь разделим обе части на $\Delta t:$ $$0 = v_{x1} + v_{{x бл}}.$$ Аналогично можем перейти к ускорениям: $$0 = a_{x1} + a_{x бл}.$$ Всё то же самое можно повторить для нити, содержащей зелёные участки $$L_2 = (x_2 - x_{бл}) + (x_3 - x_{бл}) + (x_3 - 0) \ \Rightarrow \ 0 = a_{x2} + 2a_{x3} + 2a_{x бл}.$$ Это и есть уравнения кинематических связей, теперь можно расставить силы натяжения и записать второй закон Ньютона для каждого из грузов. Пусть сила натяжения нити, содержащей красные участки равна $2T$. Тогда из условия невесомости блока получаем, что натяжение второй нити равна $T.$ Тогда $$ \begin{cases} m_1 a_{x1} = m_1g - 2T \\ m_2 a_{x2} = m_2g - T \\ m_3 a_{x3} = m_3g - 2T \\ \end{cases} $$ Полная система, содержащая и законы Ньютона, и уравнения кинематической связи: $$ \begin{cases} m_1 a_{x1} = m_1g - 2T \\ m_2 a_{x2} = m_2g - T \\ m_3 a_{x3} = m_3g - 2T \\ 0 = a_{x2} + 2a_{x3} + 2a_{x бл} \\ 0 = a_{x1} + a_{x бл} \end{cases} $$ Решая, получаем: $$ \begin{cases} a_{x1} = \frac{6m_2m_3 - m_1m_3 - 4m_1m_2}{4 m_2\left(m_1+m_3\right)+m_1 m_3} g, \\ \\ a_{x2} = 4 \frac{m_2\left(m_1+m_3\right)-m_1 m_3}{4 m_2\left(m_1+m_3\right)+m_1 m_3} g, \\ \\ a_{x3} = \frac{4m_2m_3 + m_1m_3 - 6m_1m_2}{4 m_2\left(m_1+m_3\right)+m_1 m_3} g. \end{cases} $$ Рассмотрим задачу-пример с комбинацией кинематических связей. Пример 3 Катушка, на которую намотана нить, без проскальзывания и отрыва движется по горизонтальной поверхности, которая движется со скоростью $v$. Нить, как показано на рисунке, тянут вверх со скоростью $2v$. Нить по катушке не проскальзывает и от неё не отрывается. Найдите скорость отмеченных цифрами точек катушки Так как катушка без проскальзывания и отрыва движется по поверхности, скорость точки 4 равна $v$ и направлена горизонтально, вправо. При этом скорость точки 3 по тем же соображениям, только связанным с нитью равна $2v$ и направлена вертикально вверх. Рассмотрим центр катушки. Так как катушка является твёрдым телом, скорость центра в проекции на горизонтальную ось должна быть равна 0 (точка 3). Аналогично скорость центра в проекции на вертикальную ось должна быть равна 0 (точка 4). Значит центр катушки неподвижен и является МЦВ. При этом расстояния от центра до точек 3 и 4 одинаковые, а скорости точек 3 и 4 разные. Значит такая ситуация невозможна, поскольку не существует подходящей угловой скорости, а одна из точек тела неподвижна. Специфические кинематические связи Существуют искусственные кинематические связи. Например, в задаче, может быть в качестве факта сообщено, что некий угол или некое расстояние неизменны. Это тоже можно рассматривать как кинематическую связь, пусть она и не является в полном смысле естественной.