Кинематические связи с трением (Часть 1): Часть 2

Задача 3

Условие

Лёгкий магнит с крюком на вертикальной стальной плите остаётся неподвижным, пока подвешенный к нему груз не превосходит по массе m_0 . Чему равна магнитная сила, если коэффициент трения магнита по стали равен \mu ? С каким ускорением скользит магнитная подвеска, если масса груза m>m_0 ?

13.2 Решение

Магнитная сила равна силе нормальной реакции со стороны стены, потому что движения магнита по горизонтали не происходит.

В критическом случае (случае начала проскальзывания): m_0 g = F_{тр} = \mu N = \mu F_{м}, \ F_{м} = \frac{m_0 g}{\mu}. Запишем второй закон Ньютона для случая скольжения: ma = m g - \mu F_{м} \ \Rightarrow \ a = \frac{mg - m_0 g}{m} = g(1 - \frac{m_0}{m}).

Ответ F_{м} = \frac{m_0 g}{\mu} ; a = g(1 - \frac{m_0}{m}).

Задача 4

Условие

Слипшиеся брусок и тележка движутся по горизонтальной поверхности стола. В некоторый момент, когда их скорость равна v=1 м/с, брусок отлипает от тележки. На каком расстоянии друг от друга окажутся тележка и брусок к моменту остановки бруска? Коэффициент трения скольжения бруска о стол \mu = 0.1 .

13.3 Решение

Ускорение бруска направлено против его начальной скорости и равно (по второму закону Ньютона) \mu g . Значит брусок остановится через \tau = \frac{v}{\mu g}. За это время тележка пройдёт расстояние l_1 = v \tau = \frac{v^2}{\mu g}, а брусок расстояние l_2 = v_{ср} \tau = \frac{v}{2} \frac{v}{\mu g} = \frac{v^2}{2 \mu g}. Искомое расстояние между ними равна разности l_1 и l_2: L = l_1 - l_2 = \frac{v^2}{2 \mu g} = 0.5 \ м.

Ответ L = 0.5 \ м.

Задача 5

Условие

На наклонной плоскости с углом наклона \alpha=30^{\circ} удерживаются неподвижно тележка и брусок, расположенные рядом. Их отпускают. Какое расстояние будет между тележкой и бруском к моменту, когда тележка пройдёт расстояние l=50 см? Коэффициент трения скольжения между бруском и наклонной плоскостью \mu=0.3 . Массу колёс тележки и трение качения не учитывать.

13.4 Решение

Ускорение тележки создаётся только проекцией силы тяжести, то есть a_{т} = g \sin \alpha. Ускорение бруска складывается из действий силы тяжести и силы трения, то есть a_{б} = g \sin \alpha - \mu g \cos \alpha. Запишем уравнения для равноускоренного движения бруска и тележки (по отдельности) на ось параллельную наклонной плоскости: l = \frac{a_{б} t^2}{2}, \ l + L = \frac{a_{т} t^2}{2}. Откуда t^2 = \frac{2 l}{a_{б}}, \ L = \frac{(a_{т} - a_{б}) t^2}{2}. Подставляя t^2 получаем L = l \frac{(a_{т} - a_{б})}{a_{б}}, в свою очередь подставляя ускорения, получаем L = l \frac{\mu g \cos \alpha}{g (\sin \alpha - \mu \cos \alpha)} = l \frac{\mu}{tg \alpha - \mu} = 54 \ см.

Ответ L = 54 \ см.

Задача 6

Условие

На тело массы m , лежащее на горизонтальной плоскости, действует сила F под углом \alpha к горизонту. Коэффициент трения \mu . Найдите ускорение тела.

Решение

При таком условии есть несколько вариантов того, как тело может двигаться (или покоиться):

I) Тело не сдвинулось. Тогда ускорение тела, очевидно, a = 0. Так происходит, когда максимальная сила трения превышает горизонтальную составляющую силы F , то есть F \cos \alpha < \mu N = \mu (mg - F \sin \alpha), упрощая, получаем F \leq \frac{\mu m g}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}.

II) Тело начало двигаться горизонтально, но по вертикали не сдвигается. Тогда ускорение тела: a = \frac{F \cos \alpha - \mu (mg - F \sin \alpha)}{m} = \frac{F}{m}(\cos \alpha + \mu \sin \alpha) - \mu g, по второму закону Ньютона. При этом должны выполняться условия: \begin{cases}

N \geq 0 \\

\\

F \geq \frac{\mu m g}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}

\end{cases} то есть \begin{cases}

F \leq \frac{mg}{\sin \alpha} \\

\\

F \geq \frac{\mu m g}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}

\end{cases}

III) Тело начало двигаться вертикально, оторвавшись от поверхности. Тогда ускорение тела присутствует по двум осям, горизонтальной: a_x = \frac{F \cos \alpha}{m}, вертикальной: a_y = \frac{F \sin \alpha}{m} - g. Тогда полное ускорение тела a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{\frac{F^2}{m^2} + g^2 - 2 \frac{Fg \sin \alpha }{m}}. Условие для такого движения F \sin \alpha > mg.

Подводя итог, получаем, что \left[

\begin{aligned}

&a = \sqrt{\frac{F^2}{m^2} + g^2 - 2 \frac{Fg \sin \alpha }{m}}, \ если \ F > \frac{mg}{\sin \alpha};

\\

&a = \frac{F}{m}(\cos \alpha + \mu \sin \alpha) - \mu g, \ если \ \frac{mg}{\sin \alpha} \geq F \geq \frac{\mu m g}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha};

\\

&a = 0, \ если \ F < \frac{\mu m g}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}.

\end{aligned}

\right.

Ответ a = \sqrt{\frac{F^2}{m^2} + g^2 - 2 \frac{Fg \sin \alpha }{m}}, \ если \ F > \frac{mg}{\sin \alpha} ; a = \frac{F}{m}(\cos \alpha + \mu \sin \alpha) - \mu g, \ если \ \frac{mg}{\sin \alpha} \geq F \geq \frac{\mu m g}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}; a = 0, \ если \ F < \frac{\mu m g}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}