Кинематические связи с трением (Часть 1)

Кинематические связи с трением Задача 7 Условие На тело массой $m$, лежащее на горизонтальной шероховатой поверхности с коэффициентом трения $\mu$, в момент времени $t=0$ начала действовать под углом $\alpha$ к горизонту сила, пропорциональная времени: $F=A t$. Определите скорость движения тела через время $\tau$. Решение Разберёмся с тем, что больше $$\frac{mg}{\sin \alpha}$$ или $$\frac{\mu m g}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}.$$ Перевернём дроби и ответ станет очевиден $$\frac{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}{\mu m g} = \frac{\cos \alpha}{\mu m g} + \frac{\sin \alpha}{mg} > \frac{\sin \alpha}{mg}.$$ Значит $$\frac{mg}{\sin \alpha} > \frac{\mu m g}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}.$$ Значит тело (если сдвинется) сначала сдвинется, а потом оторвётся от поверхности (если оторвётся). При таком условии есть несколько вариантов того, как тело может двигаться (или покоиться): I) Тело не сдвинулось вовсе. Тогда скорость тела, очевидно, $v = 0.$ Так происходит, когда максимальная сила трения превышает максимальную горизонтальную составляющую силы $F$, то есть $$F \cos \alpha II) Тело начало двигаться горизонтально, но по вертикали не сдвинулось. Найдём время, через которое тело начало двигаться горизонтально: $$F(t_1) \cos \alpha = \mu (mg - F(t_1) \sin \alpha) \ \Rightarrow \ t_1 = \frac{\mu m g}{A(\cos \alpha + \mu \sin \alpha)}.$$ Значит общее время, которое тело ускорялось равно $\tau - t_1.$ Ускорение зависит от силы линейно. В свою очередь сила зависит линейно от времени. Значит ускорение от времени зависит линейно и можно найти среднее как: $$a_{ср} = \frac{1}{2}\frac{1}{m}(0 + A \tau \cos \alpha - \mu (mg - A \tau \sin \alpha)) = \frac{A \tau (\cos \alpha + \mu \sin \alpha) - \mu m g}{2m}.$$ Откуда $$v = (\tau - t_1) a_{ср} = \frac{A \tau (\cos \alpha + \mu \sin \alpha) - \mu m g}{2m} (\tau - \frac{\mu m g}{A(\cos \alpha + \mu \sin \alpha)}).$$ Условие такого движения мы уже получили в предыдущей задаче: $$\frac{mg}{A \sin \alpha} \geq \tau \geq \frac{\mu m g}{A (\cos \alpha + \mu \sin \alpha)}.$$ III) Тело начало двигаться горизонтально, а затем и вертикально, оторвавшись от поверхности. Условие такого движения: $$\frac{mg}{A \sin \alpha} $$ v_y = a_{ср_{2y}} (\tau - t_2) = (\frac{A \tau \sin \alpha}{2m} - \frac{g}{2})(\tau - \frac{mg}{A \sin \alpha}) = \frac{A \tau^2 \sin \alpha}{2m} + \frac{mg^2}{2A \sin \alpha} - g \tau.$$ Полная скорость равна (по теореме Пифагора) $$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}.$$ Ответ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$, где $v_x = \frac{A \tau^2 \cos \alpha}{2m} - \frac{\mu m g^2 ctg \alpha}{2A (\cos \alpha + \mu \sin \alpha)}$ и $v_y = \frac{A \tau^2 \sin \alpha}{2m} + \frac{mg^2}{2A \sin \alpha} - g \tau$. Задача 8 Условие На горизонтальной доске лежит брусок массы $m$. Доску медленно наклоняют. Определите зависимость силы трения, действующей на брусок, от угла наклона доски $\alpha$. Коэффициент трения $\mu$. При каком угле наклона доски начнётся проскальзывание? Решение Брусок не отрывается от доски, так как единственная сила, побуждающая его сделать это - сила нормальной реакции опоры, которая перестанет действовать, как только брусок оторвётся от доски. Значит $$N = mg \cos \alpha.$$ Если проскальзывание ещё не началось, то сила трения компенсирует действие силы тяжести вдоль доски и, соответственно равно $$F_1 = mg \sin \alpha.$$ Проскальзывание начинается в случае, когда проекция силы тяжести на ось, параллельную доске, сравняется с максимальной силой трения: $$\mu mg \cos \alpha_{кр} = mg \sin \alpha_{кр} \ \Rightarrow \ \mu = tg \alpha_{кр}.$$ После начала проскальзывания сила трения равна $\mu N,$ то есть $\mu mg \cos \alpha.$ Окончательно, получаем $$\left[ \begin{aligned} &F_{тр} = mg \sin \alpha, \ если \ tg \alpha Ответ $F_{тр} = mg \sin \alpha, \ если \ tg \alpha