Линейная, поверхностная, объёмная плотность заряда. Телесный угол. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса
Физика, 10 класс
Часть 1, Поток вектора напряженности электрического поля, Часть 3, ...
Часть 3. Видео
Часть 3
Воспользуемся этим результатом, чтобы доказать важную теорему - теорему Гаусса. Сформулируем её: поток \Phi электростатического поля в вакууме через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов \sum q_{i} , находящихся внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную \varepsilon_{0} :
\Phi=\frac{\sum q_{i}}{\varepsilon_{0}}.
Рассмотрим сначала ситуацию, когда внутри замкнутой поверхности находится один точечный заряд q . Разобьем поверхность на элементарные участки - почти плоские площадки, в пределах каждой из которых поле можно считать постоянным по величине и направлению. Пусть i -я площадка видна из точки, где находится заряд, под малым углом \Omega_{i} . Тогда поток поля заряда через i -ю площадку равен \Phi_{i}=k q \Omega_{i} . Находим поток через всю замкнутую поверхность
\Phi=\sum \Phi_{i}=\sum k q \Omega_{i}=k q \sum \Omega_{i}=k q \cdot 4 \pi=\frac{q}{\varepsilon_{0}}.
Если же внутри замкнутой поверхности находится система точечных зарядов и поток поля j -го заряда через поверхность равен \Phi_{j} , то, согласно свойству аддитивности потока, поток общего поля равен
\Phi=\sum \Phi_{j}=\frac{\sum q_{j}}{\varepsilon_{0}}.
Пусть теперь точечный заряд q находится вне замкнутой поверхности. Разобьем ее на пары участков, которые можно увидеть из точки расположения заряда под одним и тем же малым телесным углом \Omega_{i} . К каждому участку поверхности нужно выбирать внешнюю нормаль, поэтому через ближайший к точке q участок поток равен \Phi_{1}=-k q \Omega_{i} , а через дальний \Phi_{2}=k q \Omega_{i} . В таком случае \Phi_{1}+\Phi_{2}=0 . Следовательно, поток поля заряда, находящегося вне поверхности, через поверхность равен нулю.
В терминах силовых линий можно сформулировать теорему Гаусса так: количество линий, исходящих из замкнутой поверхности, пропорционально суммарному количеству зарядов внутри неё.
Теорему Гаусса часто применяют для определения поля симметричных объектов. Используя теорему Гаусса, определим напряженность электрического поля:
a. Внутри и вне равномерно заряженной сферы, если полный заряд сферы Q ;
1) r<R .
Поскольку внутри сферы заряда нет, то по т.Гаусса поток вектора напряжённости внутри сферы равен нулю E=0 .
2) r>R .
По т.Гаусса:
E \cdot 4 \pi r^{2}=\frac{q}{\varepsilon_{0}} \quad \Rightarrow \quad E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}.
Напряженность электрического поля заряженной сферы:
E(r) = \left\{ \begin{aligned}
&0, \ r<R \\
&\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}, \ r>R
\end{aligned} \right. .
Построим график:
В случае отрицательного заряда сферы результат будет следующим:
E(r) = \left\{ \begin{aligned}
&0, \ r<R \\
&-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{|q|}{r^{2}}, \ r>R
\end{aligned} \right. .