Электрическое поле и потенциал. Проводники в электрическом поле. Часть 2.: Электростатика

№ 1

Условие

Из капельницы 1 в полый изолированный металлический шар 2 радиуса R падают капли воды, каждой из которых сообщают заряд q . Какой должна быть наименьшая высота падения капель для того, чтобы шар заполнился водой? Радиус капли r<<R .

Решение

1ъ.png

Пусть h - расстояние до центра сферы. Когда сфера заполнится, её заряд станет равным Q , а так как вода проводящий элемент, то Q - заряд поверхности сферы. Высота будет минимальной тогда, когда при падении последней капли её скорость у поверхности сферы будет нулевой ( v=0 ). Поскольку r<<R , то каплю можно считать точечным зарядом. Запишем закон сохранения энергии:

\frac{k q Q}{R} = \frac{k q Q}{h} + mg(h-R) \quad \Rightarrow \quad h = \frac{kqQ}{mgR}. Найдём Q :

Q=N \cdot q, где N - количество капель.

Так как жидкость несжимаемая:

N=\frac{4/3 \pi R^3}{4/3 \pi r^3} = \left( \frac{R}{r} \right)^3. Окончательно:

h = \frac{kq \cdot (q \cdot \left( \frac{R}{r} \right)^3)}{(\rho \cdot 4/3 \pi r^3) \cdot g R} = \frac{3}{16 \pi^2 \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2R^2}{r^6}. № 2

Условие

Проводящий шарик радиусом R и зарядом Q имеет потенциал \varphi_{1}=400 В. Каким станет потенциал \varphi_{2} шарика, если он окажется внутри полого проводящего шара с радиусами сферических поверхностей 4 R и 5 R и зарядом 4 Q ? Центры заряженного и полого шара совпадают. (физтех, 2013) Постройте график зависимости поля и потенциала в зависимости от расстояния до центра.

Решение

2.png

Найти заряды внутренней и внешней сферических поверхностей можно двумя способами. Во-первых, можно приравнять их потенциалы. Во-вторых, можно воспользоваться тем, что напряжённость в проводнике нулевая, а также З.С.З. . Воспользуемся вторым способом:

E = 0 \quad \Rightarrow \quad q_2 = -Q, чтобы поле от двух внутренних сфер ровнялось нулю.

Закон сохранения заряда: q_3 + q_2 = 4Q \quad \Rightarrow \quad q_3 = 5Q.

Найдём новый потенциал шарика:

\varphi_2 = \frac{kQ}{R} - \frac{kQ}{4R} + \frac{5kQ}{5R} = \frac{7}{4} \cdot \frac{kQ}{R} = \frac{7}{4} \varphi_1 = 700 В. Составим кусочно-линейную функцию напряжённости и потенциала поля в зависимости от расстояния до центра:

3.png

\begin{aligned}

&\varphi(x) =

\begin{cases}

\begin{aligned}

& 700 В, \quad 0 < x < R \\

& \frac{kQ}{x} - \frac{kQ}{4R} + \frac{5kQ}{5R} = \varphi_1 \left( \frac{3}{4} + \frac{R}{x} \right), \quad R < x < 4R \\

&\frac{kQ}{x} - \frac{kQ}{x} + \frac{5kQ}{5R} = \varphi_1 = 400 В, \quad 4R < x < 5R \\

&\frac{kQ}{x} - \frac{kQ}{x} + \frac{5kQ}{x} = 5\varphi_1 \frac{R}{x}, \quad x > 5R

\end{aligned}

\end{cases} \\

&E(x) =

\begin{cases}

\begin{aligned}

& 0, \quad 0 < x < R \\

& \frac{kQ}{x^2}= \varphi_1 \frac{R}{x^2}, \quad R < x < 4R \\

&0, \quad 4R < x < 5R \\

&\frac{kQ}{x^2} - \frac{kQ}{x^2} + \frac{5kQ}{x^2} = 5\varphi_1 \frac{R}{x^2}, \quad x > 5R

\end{aligned}

\end{cases}

\end{aligned}