Электрическое поле и потенциал. Проводники в электрическом поле. Часть 1.: Электростатика

№ 1

Условие

Равномерно заряженный шар радиуса R имеет объемную плотность заряда \rho . Найдите напряженность поля и потенциал шара в зависимости от расстояния до его центра. (6.3.25)

Решение

Из теоремы Гаусса:

E(x) = \begin{cases}

\begin{aligned}

&\frac{\rho x}{3 \varepsilon_0}, \quad x<R \\

&\frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 x^2}, \quad x>R

\end{aligned}

\end{cases}. Поскольку потенциал электрического поля вычисляется по формуле:

\varphi (x) = - \int E dx + c, то:

\varphi(x) = \begin{cases}

\begin{aligned}

& - \frac{\rho}{3\varepsilon_0} \cdot \frac{x^2}{2} + c_1, \quad x \leq R \\

&\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0x} + c_2, \quad x \geq R

\end{aligned}

\end{cases} Поскольку \varphi(\infty) = 0 , то c_2 = 0 . Теперь найдём c_1 , используя тот факт, что W(x) не меняется скачком:

\varphi(R) = - \frac{\rho}{3\varepsilon_0} \cdot \frac{x^2}{2} + c_1 = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0x} \quad \Rightarrow \quad c_1 = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0}. Тогда окончательная зависимость потенциала от координаты выглядит следующим образом:

\varphi(x) = \begin{cases}

\begin{aligned}

& \frac{\rho}{2\varepsilon_0} \cdot \left( R^2 - \frac{x^2}{3} \right), \quad x \leq R \\

&\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0x}, \quad x \geq R

\end{aligned}

\end{cases}. Заметим, что снаружи поле и потенциал, как от точечного заряда.

1.png

Рассмотри 2 способ нахождения зависимости потенциала от координаты. Воспользуемся тем, что:

\varphi = \int\limits_{x}^{\infty} E(x) dx. 1 случай ( x>R ):

\varphi = \int\limits_{x}^{\infty} \frac{\rho}{3\varepsilon_0} \cdot \frac{R^3}{x^2} dx = -\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{x} \Bigg|_{x}^{\infty} = \frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 x}. 2 случай ( x<R ):

\varphi = \int\limits_{R}^{\infty} \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} \cdot \frac{R^3}{x^2} dx + \int\limits_{R}^{\infty} \frac{\rho x}{3\varepsilon_0} dx = \frac{\rho R^2}{3\varepsilon_0} + \frac{\rho x^2}{6 \varepsilon_0} \Bigg|_{x}^{R} = \frac{\rho R^2}{2 \varepsilon_0} - \frac{\rho x^2}{6\varepsilon_0}. № 2

Условие

Чему равна разность потенциалов между центром и поверхностью равномерно заряженного шара радиуса R , имеющего объемную плотность заряда \rho ? Между осью и поверхностью равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R , имеющего объемную плотность заряда \rho ? Между поверхностью равномерно заряженной пластины толщины h , имеющей объемную плотность заряда \rho , и серединой пластины? (6.3.26)

Решение

2.png

1) При x \leq R зависимость напряжённости от x в шаре имеет следующий вид:

E(x) = \frac{\rho x}{3 \varepsilon_0}. Тогда разность потенциалов между центром и поверхностью можно посчитать следующим образом:

\Delta \varphi = \varphi_1 - \varphi_2 = \int\limits_1^2 E(x) dx = \int\limits_0^RE(x) dx = \frac{\rho x^2}{6 \varepsilon_0} \Bigg|_0^R = \frac{\rho R^2}{6\varepsilon_0}. 2) В случае цилиндра из теоремы Гаусса:

E(x) = \frac{\rho x}{2 \varepsilon_0}. Тогда разность потенциалов между осью и поверхностью цилиндра равна:

\Delta \varphi = \int\limits_0^R \frac{\rho x}{2\varepsilon_0} dx = \frac{\rho R^2}{4\varepsilon_0}. 3) В случае пластины разность потенциалов между её серединой и поверхностью:

\Delta \varphi = \int\limits_0^{h/2} \frac{\rho x}{\varepsilon_0} dx = \frac{\rho x^2}{2\varepsilon_0} \Bigg|_0^{h/2} = \frac{\rho h^2}{8\varepsilon_0}. В общем, разность потенциалов выражается как скалярное произведение вектора напряжённости электрического поля и вектора расстояния между двумя точками:

\varphi_1 - \varphi_2 = \Delta \varphi = (\vec{E}, \Delta \vec{l}). 9.3