Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции

Часть 1. Видео

Часть 1

В данной лекции мы поговорим про электрическое взаимодействие. Электрические явления были известны ещё с древности. Если потереть янтарную палочку о кусочек шерсти, то после этого и кусочек шерсти, и палочка начнут притягивать маленькие предметы, например, сухие травинки. Причём сами они будут притягиваться друг к другу. Это можно проверить, если подвесить янтарную палочку на непроводящей шёлковой нити и поднести к ней, предварительно потёртой о неё, кусочек шерсти. Тогда палочка будет поворачиваться в след за кусочком шерсти, то есть притягиваться к нему. Если же в другом опыте аналогичную янтарную палочку потереть о другой кусочек шерсти, то два кусочка шерсти и две янтарные палочки начнут отталкиваться друг от друга. Аналогичные явления мы можем наблюдать, если потрём стеклянную палочку шёлковым платком.

Можно наблюдать статическое электричество и в быту: для этого достаточно взять пластиковую расчёску и провести ею по волосам, после этого и волосы и расчёска начнут притягивать, например, кусочки бумаги или даже струйки воды. Между собой же волосы будут отталкиваться, превращая причёску в одуванчик.

Таким образом, мы видим, что есть два типа электрического взаимодействия: отталкивание и притяжение.

Способности участия в электрическом взаимодействии позволяют нам ввести новую физическую величину - электрический заряд, а сами тела, участвующие в электрическом взаимодействии, называть заряженными.

Поскольку есть два типа электрического взаимодействия, то логично ввести и два типа заряда: положительный и отрицательный. Величина заряда обозначается буквами q или Q и измеряется в Кулонах [q]= Кл в СИ. Например, в приведённых ранее примерах положительный заряд приобретают волосы или шерсть, а отрицательный - расчёска и янтарная палочка соответственно.

У электрического заряда есть некоторые свойства:

Существование наименьшей порции заряда или же элементарного заряда ( e = 1,6 \cdot 10^{-19} Кл). Элементарным зарядом обладают электрон ( -e ) и протон ( +e );

Кратность. Любой заряд кратен e , то есть q = Ne , где N \in \mathbb{Z} ;

Закон сохранения электрического заряда (ЗСЗ): заряд замкнутой системы с течением времени не меняется.

Разберём третье свойство на примере. Пусть имеется замкнутая система из N заряженных тел, заряды которых q_1 , q_2 , \ldots , q_N соответственно:

Поскольку система замкнута, то тела могут обмениваться зарядами только друг с другом. Тогда ЗСЗ гласит, что сумма зарядов всех тел системы неизменна:

\sum\limits_{i=1}^N q_i = \text{const}.

Рассмотрим случай с двумя шариками разного размера, которые имеют заряды q_1 = 2 мкКл и q_2 = - 11 мкКл. После их соприкосновения заряд первого стал q_1' = -3 мкКл. Нужно определить заряд второго ( q_2' ).

Воспользуемся ЗСЗ:

q_1 + q_2 = q_1' + q_2' \quad \Rightarrow \quad q_2' = q_1 + q_2 - q_2' = 2 - 11 +3 = -6 \text{ мкКл}.

Введём модель точечного заряда. Точечный заряд - это заряженное тело, размером которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Это означает, что в задачах, где применима модель точечного заряда, можно считать, что весь заряд тела сосредоточен в одной точке. Это позволяет не рассматривать, как распределен заряд по объему и поверхности тела.

Электростатика занимается изучением неподвижных зарядов. Сначала мы изучим электростатические поля в вакууме. Основной количественный закон электростатики - закон Кулона - был открыт Кулоном в 1785 г.

Закон Кулона

Закон Кулона утверждает, что сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами q_{1} и q_{2} в вакууме прямо пропорциональна произведению зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними и действует вдоль прямой, соединяющей заряды. Она является силой притяжения, если знаки зарядов разные, и силой отталкивания, если эти знаки одинаковы.

Таким образом, модуль силы взаимодействия

|F|=k \frac{\left|q_{1}\right|\left|q_{2}\right|}{r^{2}},

где k=9 \cdot 10^{9} \text{ Н} \cdot \text{м}^{2} / \text{Кл}^{2} - коэффициент пропорциональности в законе Кулона. Можно также записать закон Кулона, используя электрическую постоянную \varepsilon_{0}=8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}^2/(\text{Н}\cdot\text{м}^2) , связанную с коэффициентом k соотношением k=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} :

|F|=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\left|q_{1}\right|\left|q_{2}\right|}{r^{2}}.

Если q_{1} и q_{2} одного знака \left(q_{1} q_{2}>0\right) , то точечные заряды отталкиваются, если разного знака \left(q_{1} q_{2}<0\right) , то притягиваются (рис.).

Можно записать силу Кулона и в векторном виде. Это позволяет учесть не только ее модуль, но и направление. Пусть \vec{F}_{12} - это сила, с которой заряд q_{1} действует на q_{2} , \vec{F}_{21} - сила, с которой заряд q_{2} действует на q_{1} , а \vec{r}_{12} - вектор, идущий от q_{1} к q_{2} (то есть \left|\vec{r}_{12}\right|=r ). Тогда

\vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21}=k \frac{q_{1} q_{2}}{r^{3}} \vec{r}_{12}.

Когда заряды одноимённые, то есть q_{1} q_{2}>0 , то сила \vec{F}_{12} сонаправлена с \vec{r}_{12} , а когда заряды разноимённые, сила \vec{F}_{12} противоположно направлена \vec{r}_{12} .

Как видно, закон Кулона аналогичен закону всемирного тяготения, который утверждает, что сила взаимодействия двух точечных масс пропорциональна их величинам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

F=G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}},

где G=6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^{2} / \text{кг}^{2} - гравитационная постоянная. Отличие заключается в том, что сила всемирного тяготения - это всегда сила притяжения, в то время как сила Кулона может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания, в зависимости от того, одноимённые заряды или разноимённые.

Кулон использовал крутильные весы для определения сил взаимодействия между двумя заряженными шариками. Суть опыта такова: на шелковой (непроводящей) нити висит в горизонтальном положении рычаг, на одном конце которого закреплён заряженный металлический шарик, а на другом - противовес. К заряженному шарику подносят другой заряженный шарик, шарики отталкиваются, рычаг поворачивается, нить закручивается. По углу закручивания нити можно определить силу взаимодействия шариков.

Шарики с определенным зарядом Кулон готовил, замыкая два одинаковых шарика: при этом электрический заряд шариков делился пополам. Это позволяло получать шарики с различным отношением зарядов.

Сравним силы гравитационного и электрического взаимодействия двух протонов, находящихся на некотором расстоянии r друг от друга. Масса протона равна m=1,67 \cdot 10^{-27} кг, заряд протона q=1,6 \cdot 10^{-19} Кл. Сила гравитационного взаимодействия

F_{g}=G \frac{m^{2}}{r^{2}}.

Сила электрического взаимодействия

F_{e}=k \frac{q^{2}}{r^{2}}.

Получаем, что

\frac{F_{e}}{F_{g}}=\frac{k}{G} \frac{q^{2}}{m^{2}}=\frac{9 \cdot 10^{9}}{6,67 \cdot 10^{-11}} \frac{\left(1,6 \cdot 10^{-19}\right)^{2}}{\left(1,67 \cdot 10^{-27}\right)^{2}} \approx 1,2 \cdot 10^{36}. Можно сделать вывод, что сила гравитационного взаимодействия пренебрежимо мала по сравнению с силой электрического взаимодействия. Этот вывод можно обобщить на произвольную систему точечных зарядов. При рассмотрении взаимодействия системы зарядов гравитационное взаимодействие можно не учитывать.

Если у нас есть система, состоящая из N точечных зарядов q_{1}, \ldots, q_{N} :

То полная электрическая сила, действующая на один из этих зарядов q_{i} со стороны остальных, может быть найдена векторным сложением сил, действующих на этот i -й заряд со стороны остальных зарядов:

\vec{F}_{i} = \vec{F}_{1i} + \ldots + \vec{F}_{Ni},

а одна из сил, действующих на данный заряд, будет выглядеть следующим образом:

\vec{F}_{1i} = k\frac{q_1q_i}{r_{1i}^3} \cdot \vec{r}_{1i}.

Точно также можно определить все остальные силы.

Рассмотрим пример с тремя точечными зарядами и найдём полную силу, действующую на одного из них со стороны других зарядов. Пример 1

Условие

Три точечных заряда q , q , -2q ( q>0 ) находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной a . Найдите силу, действующую на заряд q .

Решение

Из принципа суперпозиции сила, действующая на заряд q , будет определяться как векторная сумма двух сил со стороны зарядов q и -2q :

\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2,

где первое слагаемое - сила, действующая со стороны заряда q , а второе - со стороны заряда -2q . Модули этих сил выглядят следующим образом:

F_1 = \frac{kq^2}{a^2}, \quad F_2 = \frac{k \cdot 2q^2}{a^2}.

Из геометрии можно понять, что угол между силами равен 60^{\circ} . Воспользуемся теоремой косинусов:

F = \sqrt{F_1^2+F_2^2-2F_1F_2\cos 60^{\circ}} = \frac{kq^2}{a^2}\sqrt{1+4-2} = \frac{kq^2}{a^2} \cdot \sqrt{3}.

Ответ F=\frac{kq^2}{a^2} \cdot \sqrt{3} .