Энергия взаимодействия заряженных частиц. Работа электрического поля. Движение системы заряженных частиц.: Электростатика

№ 1

Условие

Примеры расчета энергии взаимодействия системы заряженных частиц:

a. 3 заряда на одной прямой,

b. 3 заряда в вершинах равностороннего треугольника,

c. заряды в вершинах кубика.

Решение

Энергия взаимодействия для двух зарядов:

W=\frac{kq_1q_2}{r}. Для системы зарядов:

W=\frac{1}{2} \sum\limits_{i \neq j} \frac{kq_iq_j}{r_{ij}}. Рассмотрим примеры:

a. 3 заряда на одной прямой:

5.1 Если попарные взаимодействия:

W = 2 \frac{kq^2}{a} + \frac{kq^2}{2a} = \frac{5 k q^2}{2a}. b. 3 заряда в вершинах равностороннего треугольника:

5.2 W=\frac{3kq^2}{a}. Можно считать и 1 со всеми, и 2 со всеми кроме первого и т.д.

c. заряды в вершинах кубика:

5.3 Всего 6 граней, в каждой 2 диагонали, 12 рёбер, 4 диагонали типа AB .

W = \underbrace{12 \frac{12 kq^2}{a}}_{рёбра} + 6 \cdot \underbrace{2 \frac{kq^2}{\sqrt{2} a}}_{диагонали} + \underbrace{4 \frac{kq^2}{\sqrt{3} a}}_{длинные диагонали} \quad \Rightarrow \quad W = 4 \frac{kq^2}{a} \cdot (3 + \frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}}). № 2

Условие

Четыре шарика, имеющие одинаковые заряды q , расположены вдоль одной прямой с интервалом a. Какую работу надо совершить, чтобы разместить шарики:

а) в вершинах квадрата со стороной a ;

б) в вершинах тетраэдра с ребром a ;

Решение

Начальная энергия взаимодействия шариков:

5.4 W_0=\frac{3kq^2}{a} + \frac{2kq^2}{2a} + \frac{kq^2}{3a} = \frac{13kq^2}{3a}. Энергия взаимодействия шариков в квадрате:

5.5 W_1 = \frac{\sqrt{2}kq^2}{a} \cdot (2\sqrt{2} + 1). Энергия взаимодействия шариков в тетраэдре:

5.6 W_2 = \frac{6kq^2}{a}. Работу по перемещению зарядов будем считать следующим образом:

A = \Delta W = W_i - W_0. Тогда работа в случае квадрата:

A_1 = W_1 - W_0 = \frac{kq^2}{a} (\sqrt{2} - \frac{1}{3}), а в случае тетраэдра:

A_2 = W_2 - W_0 = \frac{5kq^2}{3a}. № 3

Условие

Три одинаковых одноимённо заряженных шарика, находящиеся на гладкой горизонтальной поверхности, связаны нерастяжимыми нитями длиной L. Одна из нитей пережигается. Какие скорости будут иметь шарики в тот момент, когда они расположатся на одной прямой? Заряд каждого шарика равен q , масса каждого шарика m . Радиус шарика считать малым по сравнению с длиной нити.

Решение

5.7 Поскольку система являются замкнутой ( \sum \vec{F}_{внешн}=\vec{0} ), то мы можем воспользоваться З.С.И. и З.С.Э. . Так как из-за симметрии скорости крайних шаров одинаковы, то напишем закон сохранения импульса в проекциях на Ox , а также закон сохранения энергии соответственно:

\begin{cases}

\begin{aligned}

& 0 = 2mv_1 - mv_2 \\

& \frac{3kq^2}{L} = \frac{2kq^2}{L} + \frac{kq^2}{2L} + \frac{2mv^2_1}{2} + \frac{mv_2}{2}

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad

\begin{cases}

\begin{aligned}

&v_2 = 2v_1 \\

& \frac{1}{2} \frac{kq^2}{L} = 3mv_1^2

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad

\begin{cases}

\begin{aligned}

&v_1 = \sqrt{\frac{kq^2}{6mL}} \\

&v_2 = \sqrt{\frac{2kq^2}{3ml}}

\end{aligned}

\end{cases}.