Энергия взаимодействия заряженных частиц. Работа электрического поля. Движение системы заряженных частиц.: Электростатика

№ 8

Условие

Скорости двух электронов v_{1} и v_{2} лежат в одной плоскости и при расстоянии l между электронами образуют углы \alpha с прямой, соединяющей электроны. На какое минимальное расстояние сблизятся электроны, если скорости v_1 и v_2 равны по модулю v ? Заряд электрона равен e , масса равна m . (рис.)

2.png

Решение

Поскольку система замкнута относительно внешних сил, то мы можем использовать З.С.И. и З.С.Э. . Поскольку изначально скорости электронов были направлены друг к другу под углом \alpha , то в моменте максимального сближении на расстояние d их скорости будут перпендикулярны ему ( \vec{u} \perp \vec{d} ). Запишем закон сохранения импульса в проекциях на Oy , а также закон сохранения энергии:

3.png

\begin{aligned}

&\begin{cases}

\begin{aligned}

&2mv\sin \alpha = 2mu \\

&\frac{ke^2}{l} + \frac{2mv^2}{2} = \frac{ke^2}{d} + \frac{2mu^2}{2}

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad

\begin{cases}

\begin{aligned}

&u = v \sin \alpha \\

&\frac{1}{d} = \frac{1}{l} + \frac{mv^2}{ke^2} - \frac{m(v \sin \alpha)^2}{ke^2}

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \\

& \\

&\Rightarrow \quad d = \left( \frac{1}{l} - \frac{mv^2 \cos^2 \alpha}{ke^2} \right)^{-1}.

\end{aligned} № 9

В точках A и B на расстоянии |A B|=l закреплены заряды +9 q и -q . Вдоль прямой A B к ним движется частица массы m , имеющая заряд +q . Какую наименьшую скорость должна иметь эта частица на очень большом расстоянии, чтобы достигнуть точки B ?

4.png

Решение

24 Поскольку в точке C напряжённость электрического поля равна нулю, то при её достижении зарядом q , отталкивание сменится на притяжение, поэтому заряду достаточно достигнуть данной точки.

Найдём |BC|=x :

\frac{9kq}{(l+x)^2} = \frac{kq}{x^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{l+x} = \frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{l}{2}. Теперь запишем закон сохранения энергии (в точке C заряд не имеет скорости):

\frac{mv^2}{2} = \frac{9kq^2}{(l+x)} - \frac{kq^2}{x} \quad \Rightarrow \quad \frac{mv^2}{2} = \frac{4kq^2}{l} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{8kq^2}{ml}}.