Энергия конденсатора.: Электростатика

№ 1

Условие

Найдите энергию электрического поля конденсаторов, заряженных до разности потенциалов V :

а. Плоского конденсатора с площадью пластин S=1 м^{2} , расположенных на расстоянии d=1 мм друг от друга при V=1 кВ;

b. Сферического конденсатора с радиусами сфер r_{1} и r_{2} ;

с. Цилиндрического конденсатора длины 1 с радиусом обкладок r_{1} и r_{2} . (6.4.17)

Решение

a. Энергия плоского конденсатора:

W = \frac{CV^2}{2} = \frac{\varepsilon_0S}{2d}V^2 \approx 4,4 \cdot 10^{-3} Дж. b. Ёмкость сферического конденсатора:

C = 4\pi\varepsilon_0\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}. Тогда его энергия:

W = \frac{CV^2}{2} = 2\pi\varepsilon_0\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}V^2. c. Ёмкость цилиндрического конденсатора:

C=\frac{2\pi\varepsilon_0 l}{\ln \frac{R_2}{R_1}}. Тогда его энергия:

W = \frac{\pi \varepsilon_0 l}{\ln \frac{R_2}{R_1}} \cdot V^2. № 2

Условие

Как изменится энергия конденсатора, если при той же разности потенциалов между пластинами увеличить все его геометрические размеры в k раз? При тех же размерах увеличить заряд в n раз? (6.4.16)

Решение

При увеличении линейных размеров конденсатора, а также расстояния между пластинами в k раз, площадь возрастёт в k^2 раз, а расстояние между пластинами в k раз, тогда его ёмкость увеличится в k раз. Поскольку энергия конденсатора вычисляется по формуле:

W = \frac{CU^2}{2}, то его энергия при той же разности потенциалов увеличится в k раз.

Из формулы:

W = \frac{Q^2}{2C}, видно, что при увеличении заряда в n раз, энергия увеличится в n^2 раз.

№ 3

Условие

На пластины плоского конденсатора помещен заряд Q . Площадь пластин S , расстояние между ними d .

а. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить расстояние между пластинами на d ?

b. Какую работу надо совершить, чтобы сдвинуть пластины на расстояние x друг относительно друга так, как показано на рисунке? Пластины имеют форму квадрата с размерами a х a .

с. Какая совершается работа в обоих предыдущих случаях, если между пластинами конденсатора поддерживается батареей постоянная разность потенциалов? (6.4.18)

1.png

Решение

2.png

a. Работу можно получить из разности конечной и начальной потенциальных энергий конденсатора:

A = \Delta W = \frac{Q^2}{2C} - \frac{Q^2}{2C_0} = \frac{Q^2}{2} \left( \frac{2d}{\varepsilon_0S} - \frac{d}{\varepsilon_0S} \right) = \frac{Q^2d}{2\varepsilon_0S}. 3.png

b. Поскольку та площадь конденсатора, у которой нет своего "соседа" не даёт вклад в его электроёмкость, то после сдвига площадь пластин конденсатора стала a(a-x) . Работу рассчитаем так же, как и в предыдущем пункте:

A = \Delta W = \frac{Q^2}{2} \left( \frac{d}{\varepsilon_0a(a-x)} - \frac{d}{\varepsilon_0a^2} \right) = \frac{Q^2dx}{2\varepsilon_0a^2(a-x)}. c. Из закона сохранения энергии (при U=const ):

W_0 + A + A_{ист} = W, где

W = \frac{CU^2}{2}, \quad W_0=\frac{C_0U^2}{2}, \quad A_{ист} = \Delta q U = (C-C_0)U^2. Тогда:

A = \frac{(C_0-C)U^2}{2}. Теперь решим пункты a и b для данного случая:

\begin{aligned}

&\mathrm{a}. \quad A = \left( \frac{\varepsilon_0S}{d} - \frac{\varepsilon_0 S}{2d} \right) \frac{U^2}{2} = \frac{\varepsilon_0S}{4d} \cdot U^2 = \frac{\varepsilon_0S}{4d} \cdot \frac{Q^2}{\left( \frac{\varepsilon_0S}{d} \right)^2} = \frac{Q^2d}{4\varepsilon_0S} > 0. \\

&\mathrm{b}. \quad A = \frac{(C_0-C)Q^2}{2C_0^2} = \frac{Q^2}{2} \left( \frac{C_0-C}{C_0^2} \right) = \frac{Q^2}{2} \cdot \frac{\frac{\varepsilon_0a}{d}x}{\left(\frac{\varepsilon_0a^2}{d}\right)^2} = \frac{Q^2dx}{\varepsilon_0a^3} >0.

\end{aligned} Работа в обоих случаях положительна!