Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса.: Электростатика

№ 1

Условие

а. \quad Напряженность однородного электрического поля равна E . Чему равен поток напряженности электрического поля через квадрат со стороной l , плоскость которого расположена под углом 30^{\circ} к направлению электрического поля?

1.png

б. \quad При расчете потока напряженности электрического поля через замкнутую поверхность потоки, входящие вовнутрь, берутся со знаком минус, выходящие вовне потоки берутся со знаком плюс. Используя это правило, найдите отрицательные и положительные потоки однородного электрического поля напряженности E через замкнутую поверхность прямой трехгранной призмы, высота которой h . Передняя грань призмы, ширина которой равна h , перпендикулярна E , нижняя грань параллельна E .

2.png

в*. \quad Докажите, что поток напряженности однородного электрического поля через любую замкнутую поверхность равен нулю. (на лекции)

Решение

а. \quad По определению поток напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность:

\Phi = \left( \vec{E}, \vec{S} \right), где \vec{S}=\vec{n} \cdot S . Тогда:

\Phi = E \cdot S \cos (90^{\circ} - \alpha) = E l^2\sin \alpha = \frac{E l^2}{2}. 3.png

б. \quad Сразу отметим, что поток напряжённости электрического поля через нижнюю грань призмы равен нулю, посколько \cos 90^{\circ} = 0 .

Поток через левую грань призмы:

\Phi_1=E\cdot h^2 \cdot \cos (180^{\circ}) = -E \cdot h^2. Поток через правую наклонную грань:

\Phi_2 = E \cdot \frac{h}{\sin \alpha} \cdot h \cdot \cos (90^{\circ} - \alpha) = E \cdot h^2. Также отметим, что зарядов внутри призмы нет, поскольку \sum \Phi = 0 .

4.png

№ 2

Условие

Чему равен поток напряженности однородного электрического поля через боковую поверхность усеченного конуса, радиусы сечения которого равны R и r ? Напряженность электрического поля E составляет угол \alpha с осью конуса.

5.png

Решение

Напишем условие того, что внутри конуса заряд отсутствует:

\sum \Phi = 0 \quad \Rightarrow \quad \Phi_r + \Phi_R + \Phi_{бок} = 0. Тогда несложно найти поток напряжённости электрического поля через боковую поверхность усечённого конуса:

\Phi_{бок} = -(\Phi_r+\Phi_R) = -(\pi R^2 - \pi r^2) \cdot E \cdot \cos \alpha = E \cos \alpha \pi (r^2 - R^2). 6.png

№ 3

Условие

Докажите, что поток напряженности электрического поля точечного заряда Q через любую поверхность равен телесному углу, под которым видна эта поверхность, умноженному на Q /\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right) .

7.png

Решение

8.png

Элементарный поток:

d\Phi = E_Q \cdot dS \cos \alpha_i = \frac{k Q}{r^2_i} dS_{\perp} = kQ \cdot d\Omega = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot d\Omega. Проинтегрировав полученное выражение мы находим суммарный поток:

\Phi = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \Omega. № 4

Условие

Поток напряженности электрического поля через плоскую поверхность, равномерно заряженной с поверхностной плотностью заряда \sigma , равен \Phi . Чему равна электрическая сила, действующая на пластину в направлении, перпендикулярном ее плоскости?

Решение

Элементарный поток:

d\Phi = E_{\perp} dS = E \cos \alpha_i dS. 9.png

Элементарная сила, действующая на пластину:

dF_{\perp} = E_{\perp} dq = E_{\perp} \sigma \cdot dS = \sigma d\Phi, тогда несложно найти полную силу:

F_{\perp} = \sigma \Phi. № 5

Условие

а. \quad С какой силой действует электрический заряд q на равномерно заряженную бесконечную плоскость? С какой силой действует эта плоскость на заряд? Чему равна напряженность электрического поля плоскости? Поверхностная плотность заряда \sigma .

б. \quad С какой силой действует на каждую грань тетраэдра заряд q, помещенный в его центре? Поверхностная плотность заряда граней \sigma .

Решение

а. \quad Поток напряжённости электрического поля E , созданного зарядом q , через плоскость:

\Phi = kq\Omega, где телесный угол \Omega=2\pi .

10.png

Сила, действующая на плоскость со стороны заряда:

F=\Phi \sigma = 2\pi k q \sigma = \frac{q \sigma}{2 \varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E=\frac{F}{q}=\frac{\sigma}{2\varepsilon}. По закону Ньютона, сила, с которой заряд действует на пластину, равна силе, с которой пластина действует на заряд, по модулю и противоположна по направлению.

б. \quad Поток напряжённости заряда q через боковые грани тетраэдра:

\Phi = kq\Omega = kq\pi. 11.png

Тогда сила, с которой заряд действует на каждую из граней:

F=\sigma \Phi = \sigma k q \pi = \frac{\sigma q}{4 \varepsilon_0}.