Работа электрического поля. Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов. Работа в однородном поле. Энергия взаимодействия системы точечных зарядов

Работа электрического поля. Видео

Работа электрического поля

Рассмотрим неподвижный точечный заряд Q>0 . Будем переносить точечный заряд q>0 в поле заряда Q . Пусть начальное расстояние между зарядами r_{1} , а конечное r_{2} . Определим работу силы Кулона, действующей со стороны заряда Q , на заряд q при переносе этого заряда из положения 1 в положение 2.

Рассмотрим элементарное перемещение заряда q , то есть в пределах этого перемещения траекторию можно считать отрезком, а силу, действующую на заряд q почти постоянной. Найдем работу силы на этом элементарном перемещении, а потом суммируем работы на каждом элементарном перемещении. Можно пользоваться малыми приращениями величин, а можно интегрированием

\begin{gathered}

F=\frac{k Q q}{r^2} \\

\Delta A=\vec{F} \Delta\vec{S}=\frac{k Q q}{r^2}(\Delta S \cos \alpha) =\frac{k Q q}{r^{2}} \Delta r=k Q q \frac{\Delta r}{r^{2}}=-k Q q \Delta\left(\frac{1}{r}\right) \\

A_{12}=\sum \Delta A=-k Q q\left(\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{r_{1}}\right) A_{12}=\frac{k Q q}{r_{1}}-\frac{k Q q}{r_{2}}

\end{gathered}

или, если использовать интегрирование

\begin{aligned}

& \delta A=\vec{F} d \vec{S}=\frac{k Q q}{r^{2}} \text{d}S \cdot \cos \alpha=k Q q \frac{\text{d}r}{r^{2}} \\

& A_{12}=\int\limits_{1}^{2} \delta A=k Q q \int\limits_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{\text{d}r}{r^{2}}=-\left. k Q q \frac{1}{r}\right|_{r_{1}}^{r_2}=-k Q q\left(\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{r_{1}}\right) \\

& A_{12}=k Q q\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{2}}\right)^{2}

\end{aligned}

Для определенности мы брали положительные заряды, но можно проверить, что найденная формула работает и в случае, когда один из зарядов (или оба) отрицательны.

Полученное выражение для работы кулоновской силы:

A_{12}=k \frac{Q q}{r_{1}}-k \frac{Q q}{r_{2}},

не содержит информации о характере траектории, а зависит только от начального и конечного расстояний между зарядами. То, что работа силы Кулона не зависит от траектории, означает, что сила Кулона является потенциальной (консервативной) силой: работа силы для любой траектории, соединяющей точки 1 и 2 одинакова. Также верно, что работа силы Кулона при перемещении заряда по замкнутой траектории равна нулю.

Формула для работы также верна и в случае, если заряд Q тоже перемещается.

Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов

Потенциальной также является кулоновская сила, действующая на заряд со стороны любого электростатического поля. Свойство консервативности кулоновской силы позволяет ввести понятие потенциальной энергии заряда в электростатическом поле.

Под потенциальной энергией точечного заряда в какой-либо точке поля понимается работа, совершаемая электрическими силами при перемещении этого заряда (по любой траектории) из данной точки в «нулевую», то есть точку, потенциальная энергия которой принимается за нуль). Обычно нулевая точка выбирается на бесконечности. Потенциальная энергия определена с точностью до константы.

Вернемся к системе двух точечных зарядов q_{1} и q_{2} , расположенных на расстоянии r . Выберем для этой системы нулевую точку на бесконечности. Тогда потенциальная энергия заряда q_{1} в поле заряда q_{2} равна потенциальной энергия заряда q_{2} в поле заряда q_{1} и равна

U=A_{\infty}=k \frac{q_{1} q_{2}}{r}-k \frac{q_{1} q_{2}}{\infty}=k \frac{q_{1} q_{2}}{r}.

В дальнейшем ее можно называть просто потенциальной энергией взаимодействия двух точечных зарядов q_{1} и q_{2} , находящихся на расстоянии r друг от друга.

Раньше мы совершенно аналогично вводили потенциальную энергию для силы тяжести

U=m g h,

для силы упругости пружины

U=k \frac{x^{2}}{2}

и для силы гравитационного взаимодействия точечных масс

U=-G \frac{m_{1} m_{2}}{r}.

Видно, что работа кулоновской силы, как и работа любой потенциальной силы, связана с изменением соответствующей потенциальной энергии соотношением

A_{12}=-\left(U_{2}-U_{1}\right)=U_{1}-U_{2}.

Работа в однородном поле

Определим работу однородного электрического поля с напряженностью \vec{E} по переносу электрического заряда q по произвольной траектории из точки с радиус-вектором \vec{r}_{1} в точку с радиус-вектором \vec{r}_{2} :

Работа поля на элементарном перемещении \Delta \vec{r} равна

\Delta A=(\vec{F}, \Delta \vec{r})=(\vec{E} q, \Delta \vec{r})=q(\vec{E}, \Delta \vec{r}).

Сложим работы на всех элементарных перемещениях

A=\sum \Delta A=q\left(\vec{E}, \sum \Delta \vec{r}\right)=q\left(\vec{E}, \vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right).

Пример 1

Условие

Заряд q перемещается в однородном электрическом поле с напряженностью \vec{E} так, что его перемещение \vec{s} составляет угол 60^{\circ} с направлением поля. Определите работу поля.

Решение

A=q(\vec{E}, \vec{S})=q E S \cos 60^{\circ}=\frac{q E S}{2}.

Ответ A=\frac{q E S}{2} .

Если заряд перемещается не в однородном поле, то нужно разбить его траекторию на элементарные участки (почти прямые, в пределах каждого из которых поле можно считать неизменным), посчитать работу поля на каждом таком участке, а далее сложить.