Потенциал. Электроемкость. Конденсаторы. Энергия конденсатора. Часть 1.: Электростатика

№ 1

Условие

Определите емкость уединенного проводящего шара.

Решение

1.png

Ёмкость уединённого проводника, а также потенциал проводящего шара:

\left.

\begin{aligned}

&C = \frac{q}{\varphi} \\

&\varphi = \frac{kq}{R}

\end{aligned} \right\} C = \frac{q}{kq/R} = \frac{R}{k} = 4\pi\varepsilon_0 R.

№ 2

Условие

Размеры пластин плоского конденсатора увеличили в два раза. Как изменилась емкость конденсатора? Как изменится емкость плоского конденсатора, если расстояние между пластинами удвоить? увеличить в n раз?

Решение

2.png

Ёмкость конденсатора через его геометрические свойства:

C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}, где S - площадь пластин конденсатора, а d - расстояние между ними.

Из формулы видно, что при увеличении линейных размеров конденсатора в 2 раза, его площадь увеличится в 4. При увеличении расстояния между пластинами в n раз, ёмкость уменьшится во столько же.

№ 3

Условие

Определите емкость плоского конденсатора, если известна площадь пластин S и расстояние между ними d . Площадь пластин плоского конденсатора 20 см^{2} , расстояние между пластинами 3 мм. Определите емкость конденсатора.

Решение

Из формулы конденсатора через его геометрические свойства:

C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} \approx 5,9 нФ. В системе СГС ёмкость в см, а в СИ в Ф (Фарадах).

№ 4

Условие

Площадь обкладок плоского конденсатора S , расстояние между ними d .

a. Как изменится емкость конденсатора, если между его обкладками поместить металлическую пластину толщины d/3 и площади S ?

b. Как изменится емкость конденсатора, если между его обкладками поместить металлическую пластину толщины d/3 , но площади S^{\prime}<S ?

c. Изменится ли емкость конденсатора, если эта пластина коснется одной из обкладок? (6.4.4, Савченко)

Решение

a.

3.png

Чтобы поле внутри пластины равнялось нулю нужно, чтобы поверхностная плотность заряда пластины была \pm \sigma при поле в конденсаторе \frac{\sigma}{\varepsilon_0} , тогда потенциал конденсатора будет:

U = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \cdot x + \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (\frac{2}{3}d - x) = \frac{2}{3}d \frac{\sigma}{\varepsilon_0}, тогда ёмкость будет:

C' = \frac{\sigma S}{U} = \frac{3}{2} \frac{\varepsilon_0 S}{d} = 1,5 C_0. Также данную задачу можно решить, рассмотрев данный конденсатор как систему последовательно соединённых двух конденсаторов, где общая ёмкость будет вычисляться по формуле:

\frac{1}{C'} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{x}{\varepsilon S} + \frac{\frac{2}{3}d - x}{\varepsilon_0 S} = \frac{2}{3} \frac{d}{\varepsilon_0 S} \quad \Rightarrow \quad C' = 1,5 C_0.

b.

4.png

Найдём напряжение между обкладками, где есть пластина и нет, а затем их заряд:

\begin{aligned}

&U = \frac{2}{3} d \cdot \frac{\sigma_1}{\varepsilon_0} = \frac{2dq_1}{3S'\varepsilon_0}, \\

&U = \frac{\sigma_2}{\varepsilon_0} = \frac{q_2}{(S - S')\varepsilon_0},

\end{aligned} \quad \Rightarrow \quad

\begin{aligned}

&q_1 = \frac{1,5US'\varepsilon_0}{d}, \\

&q_2 = \frac{U(S-S')\varepsilon_0}{d}.

\end{aligned} Поскольку из закона сохранения заряда q = q_1 + q_2 , то общая ёмкость системы:

\begin{aligned}

&C = \frac{q}{U} = (1,5S' + S - S')\frac{\varepsilon_0}{d} = \frac{\varepsilon_0}{d} \left( S + \frac{S'}{2} \right) \quad \Rightarrow \\

&\Rightarrow \quad C = C_0 \left(1 + \frac{S'}{2S} \right).

\end{aligned}

Также есть альтернативный способ решения:

5.png

\begin{aligned}

&\begin{cases}

\begin{aligned}

&C_1 = \frac{\varepsilon_0 S'}{x}, \\

&C_2 = \frac{\varepsilon_0 S'}{\frac{2}{3}d - x}, \\

&C_3 = \frac{\varepsilon_0 (S - S')}{d},

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \\

&\Rightarrow \quad

\begin{aligned}

&\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{C'}, \\

&C = C' + C_3,

\end{aligned}\quad \Rightarrow \\

&\Rightarrow \quad

C = C_0\left( 1+\frac{S'}{2S} \right).

\end{aligned} c. Поскольку ёмкость системы не зависит от положения пластины (от x ), то если сама пластина не изменится, то и ёмкость останется прежней.