Потенциал. Электроемкость. Конденсаторы. Энергия конденсатора. Часть 1.: Электростатика

№ 5

Условие

Определите емкость конденсатора, образованного двумя концентрическими сферами радиуса R_{1} и R_{2} (сферический конденсатор).

Решение

6.png

Напряжённость электрического поля системы:

E = \begin{cases}

\begin{aligned}

&0, \quad 0 < x < R_1 \\

&\frac{kq}{x^2}, \quad R_1 < x < R_2 \\

&0, \quad x> R_2

\end{aligned}

\end{cases}. Потенциал поля системы:

\varphi= \begin{cases}

\begin{aligned}

&\frac{kq}{R_1} - \frac{kq}{R_2} = kq \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right), \quad 0 \leq x \leq R_1 \\

&\frac{kq}{x} - \frac{kq}{R_2}, \quad R_1 \leq x \leq R_2 \\

&0, \quad x \geq R_2

\end{aligned}

\end{cases}. Тогда напряжение между обкладками сферического конденсатора:

U = \frac{kq}{R_1} - \frac{kq}{R_2} = kq\frac{R_2 - R_1}{R_1\cdot R_2}, и, следовательно, ёмкость:

C = \frac{q}{U} = \frac{1}{k} \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1} = 4\pi \varepsilon_0 \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}. Рассмотрим предельные случаи:

\begin{aligned}

&R_2 \rightarrow \infty \quad \Rightarrow \quad C = 4\pi \varepsilon_0 R_1 - ёмкость уединённой сферы, \\

&d = R_2 - R_1, \;\; (d \ll R_1, R_2) \quad \Rightarrow \quad C = \frac{4\pi \varepsilon_0 R^2}{d} = \frac{\varepsilon_0 S}{d} - ёмкость плоского конденсатора.

\end{aligned} № 6

Условие

Определите емкость сферического конденсатора, если между его обкладками поместить проводящий сферический слой толщины d<R_{1}-R_{2} . Радиус внешней поверхности этого слоя R_{0} .

Решение

7.png

В сферическом слое напряжённость электрического поля, а также его разность потенциалов должны равняться нулю. Тогда общее напряжение будет рассчитываться, как разность потенциалов первой и второй сфер:

\begin{aligned}

&\begin{cases}

\begin{aligned}

&\varphi_1 = \frac{kq}{R_1} - \frac{kq}{R_2 - d} + \frac{kq}{R_0} - \frac{kq}{R_2}, \\

&\varphi_2 = 0,

\end{aligned}

\end{cases}\quad \Rightarrow \\

&\Rightarrow \quad

U = \varphi_1 - 0 = kq\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_0 - d} + \frac{1}{R_0} - \frac{1}{R_2} \right).

\end{aligned} Ёмкость данной системы:

C = \frac{q}{U} = \frac{1}{k} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} - \frac{d}{(R_0-d)R_0} \right)^{-1}. Ответ можно и через последовательное соединение двух конденсаторов:

8.png

\begin{aligned}

&C_1 = 4\pi\varepsilon_0 \frac{R_1(R_0-d)}{R_0-d-R_1}, \\

&C_2 = 4\pi \varepsilon_0 \frac{R_1(R_0-d)}{R_0-d-R_1},

\end{aligned} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \quad \Rightarrow \quad C = \frac{1}{k} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} - \frac{d}{(R_0-d)R_0} \right)^{-1}. № 7

Условие

Найдите емкость цилиндрического конденсатора, образованного двумя соосными цилиндрами радиуса R_{1} и R_{2} . Длина цилиндров l .

Решение

9.png

Найдём напряжённость электрического поля между обкладками цилиндрического конденсатора из теоремы Гаусса:

2\pi rl E = \frac{1}{\varepsilon_0} Q \quad \Rightarrow \quad E = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 lr}. Стоит отметить, что напряжённость поля при r<R_1 и r>R_2 равно нулю. Найдём напряжение между обкладками:

U = \int\limits_{R_1}^{R_2} E dr = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 l} \int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{1}{r} dr = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 l} \ln \frac{R_2}{R_1}. Тогда ёмкость цилиндрического конденсатора:

C = \frac{Q}{U} = \frac{2\pi \varepsilon_0 l}{\ln \frac{R_2}{R_1}}. № 8

Условие

Определите емкость параллельного и последовательного соединения конденсаторов.

10.png

Решение

Свойства последовательно соединённых конденсаторов:

11.png

\begin{aligned}

&q_1 = q_2 = q, \\

&U = U_1 + U_2, \\

&\frac{1}{C} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_2}.

\end{aligned} Свойства параллельно соединённых конденсаторов:

12.png

\begin{aligned}

&U_1 = U_2 = U, \\

&q = q_1 + q_2, \\

&C = C_1 + C_2.

\end{aligned}