Теорема единственности. Свойство экранировки. Метод изображений. Взаимодействие точечного заряда и проводящей плоскости

Теорема единственности. Видео

Теорема единственности

Сформулируем теорему единственности для уединенного проводника. Сообщим ему заряд q . Докажем, что электрический заряд распределяется по поверхности проводника единственным образом.

Док-во от противного. Пусть \sigma_1 \neq \sigma_2 :

Работа электростатического поля по замкнутой траектории должна быть равна нулю. Однако, в данном случае при перемещении пробного заряда A_Q \neq 0 . Противоречие с консервативностью электростатического поля.

Теорема единственности позволяет нам угадывать распределение заряда по поверхности проводника. Если мы его угадали, то именно это распределение в действительности и реализуется, поскольку оно единственно.

Сформулируем теорему единственности для системы проводников. Пусть даны расположение и форма находящихся в поле проводников и известны либо потенциалы, либо заряды каждого проводника. Оказывается, что распределение поля системы проводников определяется единственным образом из этих зарядов и потенциалов.

Свойство экранировки

Рассмотрим проводник с полостью. Пусть и внутри полости, и вне проводника находятся заряженные тела. Свойство экранировки гласит, что пространства внутри полости и вне проводника оказываются совершенно не связанными друг с другом. Любые перемещения заряженных тел, расположенных в полости проводника, приводят лишь к перераспределению заряда на её внутренней поверхности и никак не сказываются на полях и распределениях заряда снаружи. Ровно так же, если двигать заряды вне проводника, то это никак не скажется на распределении поля в полости.

Докажем свойство экранировки, используя принцип суперпозиции и теорему единственности.

Напряжённость электрического поля в точке A :

\vec{E_{A}}= \vec{0} =\vec{E_{q_{i}}}+\vec{E_{\sigma_{i}}}+\vec{E_{\Sigma_{i}}}+\vec{E_{Q_{i}}}.

Докажем, что

1) \; \vec{E_{q_{i}}}+\vec{E_{\sigma_{i}}} = \vec{0}; \quad 2) \; \vec{E_{\Sigma_{i}}}+\vec{E_{Q_{i}}} = \vec{0}.

В т.A:

\vec{E_{q_{i}}}+\vec{E_{\sigma_{i}^{\prime}}} = \vec{0}, \quad \vec{E_{\Sigma_{i}^{\prime}}}+\vec{E_{Q_{i}}} = \vec{0}.

По теореме о единственности:

\Sigma_{i}^{\prime} = \Sigma_{i}; \quad \sigma_{i}^{\prime} = \sigma_{i}.

Пример 1

Условие

Точечный заряд q расположен на расстоянии r от центра проводящей сферы радиуса R . Заряд сферы равен Q . Найдите потенциал сферы в случае r<R (заряд внутри).

Решение

.

Вообще говоря, мы не можем утверждать, заряд Q распределен по сфере равномерно. Этот факт значительно усложняет задачу.

Воспользуемся свойством экранировки - переместим заряд в центр сферы (поле снаружи проводника и поверхностная плотность не изменятся).

Теперь мы имеем дело с симметричной задачей. Воспользуемся принципом суперпозиции:

\varphi(R)=\frac{k(q+Q)}{R}

У этих систем E одинаково при r>R . Значит и \varphi(r \geq R) одинаков. .

По теореме Гаусса, заряд -q распределен по внутренней поверхности сферы, а Q+q - по внешней поверхности сферы. При этом -q индуцирован неравномерно, а (Q+q) - равномерно.

Это суперпозиция двух задач

Тогда, по принципу суперпозиции:

\begin{aligned}

&amp;E_A = 0 + \frac{k(Q+q)}{r_A^2} \\

&amp;\varphi_A = \frac{k(Q+q)}{r_A}

\end{aligned}

Ответ \varphi(R)=\frac{k(q+Q)}{R} .

Пример 2

Условие

Точечный заряд q расположен на расстоянии r от центра проводящей сферы радиуса R . Заряд сферы равен Q . Найдите потенциал сферы в случае r>R (заряд снаружи).

Решение

Заряд на внутренней поверхности сферы заряд нулевой. Весь заряд Q оказывается на внешней стороне сферы. Поле внутри сферы нулевое (по свойству об экранировке). Значит, потенциал во всей области равен потенциалу в центре \varphi_0 .

Потенциал в центре можно найти по принципу суперпозиции. Чтобы учесть неравномерность распределения заряда по сфере, разобьем поверхность сферы на малые участки с зарядом \Delta Q_i :

\varphi(r \leqslant R)=\varphi_{0}=\frac{k q}{r}+\sum \frac{k \Delta Q_{i}}{R} \quad \Rightarrow \quad \varphi(R)=\frac{k q}{r}+\frac{k}{R} \sum \Delta Q_{i}=\frac{k q}{R}+\frac{k Q}{R}.

Ответ \frac{k q}{R}+\frac{k Q}{R}.