Энергия взаимодействия заряженных частиц. Движение системы заряженных частиц.: Электростатика

№ 1

Условие

На покоящийся протон налетает из бесконечности другой протон со скоростью v . Прицельный параметр \rho . Определите, на какое расстояние они сблизятся.

Решение

6.1 Система является замкнутой относительно внешних сил ( \sum \vec{F}_{внешн} = \vec{0} ), следовательно, можем записать закон сохранения импульса:

6.2 mv = 2mu_0 \quad \Rightarrow \quad u_0 = \frac{v}{2}. Также в системе центра масс выполняется закон сохранения момента импульса ( \vec{L} = [\vec{r} \times m\vec{v}] ), поскольку \sum \vec{M} = 0 :

2m\frac{v}{2} \cdot \frac{\rho}{2} = 2mu \frac{d}{2}. \quad (1) Из-за замкнутости системы выполняется также закон сохранения энергии относительно центра масс:

\frac{2m\left( \frac{v}{2} \right)^2}{2} = \frac{ke^2}{d} + \frac{2mu^2}{2}. \quad (2) Тогда из (1) и (2) получаем:

\begin{cases}

\begin{aligned}

&u=\frac{\rho v}{2d} \\

&\frac{mv^2}{4} = \frac{ke^2}{d} + \frac{m\rho^2v^2}{4d^2}

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad mv^2 \cdot d^2 - 4ke^2d - m\rho^2 v^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad d = \frac{2ke^2}{mv^2} + \sqrt{\rho^2 + \frac{4k^2e^4}{m^2v^4}}. 6.3 Данная задача похожа на задачу с астероидом, летящим к Земле. Ему нужно пролететь едва коснувшись её. В этой задаче для центральных сил \sum \vec{M} = \vec{0} и выполняется З.С.М.И. .

№ 2

Условие

Вокруг тяжелого ядра с зарядом Ze на расстоянии r вращается по круговой орбите электрон. Какую минимальную энергию нужно сообщить электрону, чтобы он оторвался от ядра?

Решение

1.png

Запишем закон Ньютона:

ma_{ц.с.} = F_k \quad \Rightarrow \quad m_e \frac{v^2}{r} = \frac{kZe^2}{r^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{m_ev^2}{2} = \frac{kZe^2}{2r}. \quad (1) Поскольку система является замкнутой относительно внешних сил, то выполняется З.С.Э.:

\frac{m_ev^2}{2} - \frac{kZe^2}{r} + E_{\min} = 0, \quad (2) здесь учитывается то, что электрон улетел на \infty и остановился. Аналогично задачам про 2ую космическую скорость для гравитационного взаимодействия.

Подставляя (1) в (2), получаем:

\frac{kZe^2}{2r} - \frac{kZe^2}{r} + E_{\min} = 0 \quad \Rightarrow \quad E_{\min} = \frac{kZe^2}{2r}. № 3

Условие

Платформы массы m каждая с невесомыми колесами радиуса R расположены на горизонтальном столе так, что расстояние между осями ближайших колес платформ равно L>6 R . В верхних точках этих колес закреплены заряды противоположного знака и одинаковой величины q. Вначале тележки удерживали, а затем отпустили. До какой скорости разгонится каждая тележка в момент, когда заряды окажутся на одной линии с осями колес? Колеса не проскальзывают по столу, в осях колес нет трения, заряды взаимодействуют только между собой.

25 Решение

При повороте колеса на угол \varphi тележки проедут расстояние x=R\varphi каждая, а расстояние между зарядами уменьшается на 2R\varphi + 2R \sin \varphi . Из закона сохранения энергии:

\frac{2mv^2}{2} = kq^2 \left( \frac{1}{L-2R\varphi - 2R\sin \varphi} - \frac{1}{L} \right) \quad \Rightarrow \quad v=q\sqrt{\frac{2kR(\varphi + \sin \varphi)}{mL ( L - 2R\varphi - 2R\sin \varphi )}}, при \varphi = \frac{\pi}{2} :

v=q\sqrt{\frac{kR(2 + \pi)}{mL ( L - R(2+\pi))}}.