Ёмкость уединенного проводника. Конденсатор. Ёмкость конденсатора. Сила взаимодействия обкладок плоского конденсатора. Ёмкость плоского и сферического конденсаторов. Зарядка конденсатора. Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Ёмкость уединенного проводника. Видео

Ёмкость уединенного проводника

Заряд проводника прямо пропорционален его потенциалу. Коэффициент пропорциональности называется емкостью проводника C :

C=\frac{q}{\varphi}.

Емкость измеряется в фарадах (Ф). Она не зависит ни от заряда, ни от потенциала проводника, а зависит от его формы и размеров.

Рассмотрим некоторый уединенный проводник. В каждой точке поверхности такого проводника поверхностная плотность заряда будет равна нулю.

Нанесем на этот проводник заряд q . В результате заряд распределится по поверхности проводника (поверхностная плотность \sigma ) таким образом, что в любой точке внутри проводника E=0 .

Возьмем тот же проводник, и нанесем на него заряд \alpha q . Этот заряд тоже распределится таким образом, что внутри проводника E=0 . Предположим, что поверхностная плотность при этом станет равной \alpha \sigma . Рассмотрим некоторую точку A внутри проводника. В обоих случаях E_A=0 . При этом поле можно найти по принципу суперпозиции (если разбить поверхность проводника на мелкие участки):

\vec{E}_A = \sum\limits_{i=1}^{N} \vec{E}_i.

По нашему предположению, при увеличении заряда проводника в \alpha раз поверхностная плотность в каждой точке также увеличивается в \alpha раз. В этом случае

\vec{E}_A = \sum\limits_{i}^{N} \alpha \vec{E}_i = \alpha \sum\limits_{i=1}^{N} \vec{E}_i = \vec{0}.

Согласно теореме единственности, такое распределение заряда единственно.

Аналогичным образом исследуем напряженность поле вне проводника: при увеличении заряда проводника в \alpha раз напряженность поля вне проводника также увеличивается в \alpha раз.

Таким образом, сила, с которой электрическое поле проводника действует на пробный заряд, также увеличивается в \alpha раз. Значит, и потенциал проводника увеличивается в \alpha раз.

Итак, отношение \frac{q}{\varphi } является постоянной величиной и определяется только геометрией проводника.

Определим ёмкость уединенного металлического шара радиуса R . Сообщим ему заряд q . В отсутствие других зарядов q равномерно распределится по поверхности шара. Потенциал шара будет равен \varphi=k \frac{q}{R} . По определению ёмкости, C=\frac{q}{\varphi}=\frac{R}{k}=4 \pi \varepsilon_{0} R .

Конденсатор

Конденсатором называется система двух изолированных проводников. Если систему двух изолированных проводников зарядить зарядами q (q>0) и -q , то разность потенциалов этих проводников \Delta \varphi (\Delta \varphi >0) оказывается пропорциональной заряду q :

\Delta \varphi=\frac{1}{C} q.

Ёмкость конденсатора

Постоянная C>0 называется ёмкостью конденсатора, |q| называется зарядом конденсатора, а |\Delta \varphi| - напряжением на нём. Емкость конденсатора так же, как и ёмкость проводника, измеряется в Ф.

Емкость конденсатора не зависит от заряда на проводниках, а зависит только от геометрии проводников и их взаимного расположения.

Пример 1

Условие

Даны два металлических шарика радиуса R . Шары расположены на очень большом расстоянии r друг от друга (то есть проводники практически не испытывают взаимного влияния). Найти емкость такого конденсатора.

Решение

Зарядим шарики зарядами q и -q . Найдем потенциалы каждого из шариков как потенциалы уединенных проводников (это верно, так как шарики находятся достаточно далеко друг от друга):

\varphi_1 = \frac{kq}{R}, \quad \varphi_2 = -\frac{kq}{R}.

Тогда

\varphi_1-\varphi_2 = \frac{2kq}{R}, \quad C = \frac{q}{ \frac{2kq}{R} } = \frac{R}{2k} = 2\pi \varepsilon_0 R.

Ответ C=2\pi \varepsilon_0 R.

Плоский конденсатор - это система двух плоских проводящих параллельных пластин, расстояние между которыми много меньше линейных размеров пластин. Пластины называются обкладками плоского конденсатора.

Сила взаимодействия обкладок плоского конденсатора

Пример 2

Условие

Определите силу взаимодействия обкладок плоского конденсатора, если заряд конденсатора q , а площадь обкладок S .

Решение

Для расчета силы рассмотрим малый участок отрицательно заряженной пластины (его заряд обозначим через \Delta q_i ). Найдем силу, действующую на этот участок и учтем, что напряженность поля от правой пластины одинакова во всех точках левой пластины:

F_i=\Delta q_i \cdot E = \Delta q_i \frac{q}{2S\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad F=\sum F_i = \frac{q^2}{2S\varepsilon_0}.

Ответ F=\frac{q^2}{2S\varepsilon_0}.

Ёмкость плоского и сферического конденсаторов

Пример 3

Условие

Определите ёмкость плоского конденсатора, если расстояние между его обкладками d , а площадь его обкладок S .

Решение

По определению ёмкость конденсатора:

C=\frac{q}{\Delta \varphi}.

Разность потенциалов между двумя обкладками и напряжённость поля между ними:

\Delta \varphi = Ed, \quad E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}.

Тогда

C=\frac{q}{\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\cdot d} = \frac{\sigma S}{\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \cdot d}=\frac{S\varepsilon_0}{d}.

Ответ C=\frac{S\varepsilon_0}{d}. Пример 4

Условие

Определите ёмкость сферического конденсатора - системы двух концентрических проводящих сфер, имеющих радиусы r и R .

Решение

Пусть заряд на внутренней сфере равен +q , тогда на внешней индуцируется заряд -q . Пусть внешняя сфера заземлена. Разность потенциалов между внутренней и внешней сферы будет:

\Delta \varphi=\left|\varphi_{1}-\varphi_{2}\right|=\left|\varphi_{1}\right|=\frac{k q}{r}-\frac{k q}{R}.

Тогда ёмкость сферического конденсатора:

C=\frac{q}{\Delta \varphi}=\frac{R r}{k(R-r)}=4 \pi \varepsilon_0 \frac{R r}{R-r}.

Ответ C=4 \pi \varepsilon_0 \frac{R r}{R-r}.