Потенциал. Суперпозиция. Потенциал заряженной сферы. Вычисление потенциала проводника в удобной для этого точке проводника.: Электростатика

№ 1

Условие

Сфера радиуса R имеет заряд Q . Чему равен потенциал поля в центре сферы? Зависит ли потенциал поля в центре сферы от распределения зарядов на сфере? Зависит ли потенциал поля на поверхности сферы от распределения заряда на сфере?

Решение

1.png

Поскольку потенциал поля в центре сферы и на её поверхности выглядит следующим образом:

\varphi = \sum \frac{kq_i}{R} = \frac{kQ}{R}, то он не зависит от распределения зарядов на сфере.

№ 2

Условие

Точечный заряд q расположен на расстоянии r от центра проводящей сферы радиусом R . Заряд сферы равен Q . Найдите потенциал сферы.

Решение

Если r>R , то потенциал проводящей сферы равен потенциалу ее центра, который равен потенциалу точечного заряда, так как сфера не заряжена и создает в своем центре нулевой потенциал:

\varphi=\frac{k q}{r} . Если r<R , то на внутренней поверхности сферы индуцируется заряд -q . Поэтому напряженность поля снаружи сферы создается зарядом +q , равномерно распределенным по внешней поверхности сферы, и поэтому потенциал сферы равен:

\varphi=\frac{k q}{R}. № 3

Условие

На расстоянии a от центра заземленной проводящей сферы радиуса R расположен точечный заряд q. Чему равен заряд сферы? a>R .

Решение

2.png

Из-за заземления потенциал сферы, как и потенциал в её центре равен нулю. Потенциал в центре сферы выражается следующим образом:

\varphi_0 = \frac{kq}{a} + \frac{kQ}{R} \quad \Rightarrow \quad Q = -q\frac{R}{a}, где Q - заряд сферы.

№ 4

Условие

В центре уединенного проволочного заряженного кольца радиуса a потенциал равен \varphi_{0} . Это кольцо поднесли к заземленному шару радиуса b так, что только центр O кольца оказался на поверхности шара. Найдите индуцированный на шар.

3.png

Решение

Используя принцип суперпозиции, легко найти связь между значениями заряда на кольџе или на сфере и потенџиала в их џентре.

\varphi=k\left(\frac{\Delta q_{1}}{R}+\frac{\Delta q_{2}}{R}+\ldots+\frac{\Delta q_{N}}{R}\right), где R - радиус, а \Delta q_{1}, \ldots, \Delta q_{N} - маленькие доли зарядов, на которые разбит весь заряд так, чтобы для каждого участка, занятого долей заряда, можно было бы использовать выражение потенциала точечного заряда

\Delta \varphi=k \frac{\Delta q}{R} . Вынося 1 / R за скобку, получаем \varphi=k q / R .

Отсюда заряд на кольце в задаче q=\varphi_{0} R / k .

В заземленном проводящем шаре заряд, как известно, расположен на поверхности, поле внутри равно нулю, а потенциал всюду одинаков и равен нулю, в том числе и в џентре O_{1} .

По принципу суперпозиции суммируя вклады от распределенных по кольџу и на шаре и приравнивая сумму нулю, записываем для точки \mathrm{O}_{1}

\begin{aligned}

& k \frac{q}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}+k \frac{Q}{b}=0 \\

& Q=-\varphi_{0} \frac{a b}{4 \pi \varepsilon_{0} \sqrt{a^{2}+b^{2}}}

\end{aligned}. № 5

Условие

Одинаковые точечные заряды q находятся на расстояниях a и b от заземленной проводящей сферы малого радиуса r , как расстояние до поверхности земли и до других заземленных предметов намного больше a и b . Найдите суммарную силу, с которой заряды действуют на сферу.

4.png

Решение

Рассчитаем потенциал в центре сферы (он равен потенциалу самой сферы и потенциалу Земли, который при решении задач такого рода принимают равным нулю):

\varphi_{сф}=\frac{k Q}{r}+\frac{k q}{a}+\frac{k q}{b}=0, откуда заряд Q сферы:

Q=-q r\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right). Заряды разноименные, поэтому на сферу с их стороны действуют силы притяжения. Радиус сферы r \ll a, b . Поэтому можно рассматривать сферу как точечный заряд. Тогда

F=\sqrt{\left(\frac{k q Q}{a^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{k q Q}{b^{2}}\right)^{2}}=k q|Q| \sqrt{\frac{1}{a^{4}}+\frac{1}{b^{4}}}=k q^{2} r\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \sqrt{\frac{1}{a^{4}}+\frac{1}{b^{4}}}.