Потенциал. Суперпозиция. Потенциал заряженной сферы. Вычисление потенциала проводника в удобной для этого точке проводника.: Электростатика

№ 6

Условие

Три концентрические проводящие сферы имеют радиусы R, 2 R и 3 R . Заряд средней сферы равен q . Внутренняя и внешняя сферы не заряжены, и их на некоторое время соединяют проволокой. Какой заряд пройдет по проволоке?

5.png

Решение

6.png

В следствии соединения 1 и 3 сфер проволокой их потенциалы стали равными, тогда:

\begin{aligned}

&\begin{cases}

\begin{aligned}

&\varphi_1 = \frac{kq_1}{r} + \frac{kq}{2r} + \frac{kq_3}{3r} \\

&\varphi_3 = \frac{kq_1}{3r} + \frac{kq}{3r} + \frac{kq_3}{3r}

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \frac{kq_1}{r} + \frac{kq}{2r} = \frac{kq_1}{3r} + \frac{kq}{3r} \quad \Rightarrow \\

& \\

&\Rightarrow \quad q_1 = -\frac{q}{4}.

\end{aligned} Из закона сохранения заряда:

q_3 + q_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad q_3 = -q_1 = \frac{q}{4}. Перетечёт заряд \Delta q = \frac{q}{4} с внутренней сферы на внешнюю.

№ 7

Условие

Потенциал внутренней сферы радиуса r равен нулю (сфера заземлена). Потенциал внешней сферы радиуса 2 r равен \varphi . Определите заряд сфер. Центры сфер совпадают.

Решение

По предоставленным данным из условия мы можем записать такую систему уравнений:

\begin{cases}

\begin{aligned}

&\varphi_1 = 0 = \frac{kq_1}{r} + \frac{kq_2}{2r} \\

&\varphi_2 = \varphi = \frac{kq_1}{2r} + \frac{kq_2}{2r}

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad q_1 = - \frac{q_2}{2}. 7.png

Из второго уравнения системы:

\frac{-kq_2}{4r} + \frac{kq_2}{2r} = \varphi \quad \Rightarrow \quad q_2 = \frac{4\varphi r}{k}, \quad q_1 = - \frac{2 \varphi r}{k}. № 8

Условие

Система состоит из двух концентрических проводящих сфер - внутренней радиуса R_{1} и внешней радиуса R_{2} . Внутренняя сфера имеет заряд q , а внешняя заземлена. Найдите напряженность и потенциал электрического поля в зависимости от расстояния до центра сфер.

8.png

Решение

Зависимость потенциала и напряжённости от x для одной сферы:

E =

\begin{cases}

\begin{aligned}

&0, \quad x<R \\

&\frac{kQ}{x^2}, \quad x>R

\end{aligned}

\end{cases}, \quad \quad \varphi =

\begin{cases}

\begin{aligned}

&\frac{kQ}{R}, \quad x \leq R \\

&\frac{kQ}{x}, \quad x \geq R

\end{aligned}

\end{cases}. С учётом суперпозиции двух сфер, а также того, что \varphi = 0 , x = R_2 , получаем:

0<x<R_1

R_1<x<R_2

x>R_2

E

0

\frac{kq}{x^2}

\frac{kq}{x^2} + \frac{kq_2}{x^2}

\varphi

\frac{kq}{R_1} + \frac{kq_2}{R_2}

\frac{kq}{x} + \frac{kq_2}{R_2}

\frac{kq}{x} + \frac{kq_2}{x}

x = R_2, \quad \varphi = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{kq}{R_2} + \frac{kq_2}{R_2} = 0 \quad \Rightarrow \quad q_2 = -q. Тогда:

E =

\begin{cases}

\begin{aligned}

&0, \quad 0<x<R_1 \\

&\frac{kq}{x^2}, \quad R_1 < x < R_2 \\

&0, \quad R_2 < x

\end{aligned}

\end{cases}, \quad \quad \varphi =

\begin{cases}

\begin{aligned}

&kq \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right), \quad 0 \leq x \leq R_1 \\

&kq \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{R_2} \right), \quad R_1 \leq x \leq R_2 \\

&0, \quad x \geq R_2

\end{aligned}

\end{cases}. 8.5 № 9

Условие

Система состоит из двух концентрических проводящих сфер - внутренней радиуса R_{1} и внешней радиуса R_{2} . Внешняя сфера имеет заряд q , а внутренняя заземлена. Найдите напряженность и потенциал электрического поля в зависимости от расстояния до центра сфер.

Решение

9.png

Напряжённость поля, а также его потенциал в зависимости от расстояния x для областей , , будут выглядеть соответственно следующим образом:

E = \begin{cases}

\begin{aligned}

&0 \\

&\frac{kq_1}{x^2} \\

&\frac{kq_1}{x^2} + \frac{kq}{x^2}

\end{aligned}

\end{cases}, \quad \quad \varphi =

\begin{cases}

\begin{aligned}

&\frac{kq_1}{R_1} + \frac{kq}{R_2} \\

& \frac{kq_1}{x} + \frac{kq}{R_2} \\

& \frac{kq_1}{x} + \frac{kq}{x}

\end{aligned}

\end{cases}. В следствии заземления:

x = R_1, \quad \varphi_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{kq_1}{R_1} = - \frac{kq}{R_2} \quad \Rightarrow \quad q_1 = -q\frac{R_1}{R_2}. Тогда получаем:

E = \begin{cases}

\begin{aligned}

&0, \quad 0<x<R_1 \\

&\frac{kq \frac{R_1}{R_2}}{x^2}, \quad R_1 < x < R_2 \\

&\frac{kq}{x^2} \left( 1 - \frac{R_1}{R_2} \right), \quad x>R_2

\end{aligned}

\end{cases}, \quad \quad \varphi =

\begin{cases}

\begin{aligned}

&0 \\

& \frac{kq}{R_2}\left( 1 - \frac{R_1}{x} \right) \\

& \frac{kq}{x} \left( 1 - \frac{R_1}{R_2} \right)

\end{aligned}

\end{cases}. 8.7