Колебания в электростатике: Часть 1

Видео

Конспект

Колебания в электростатике

Условие

Два одинаковых шарика с зарядами \pm q , жестко связанные невесомым стержнем длины l , находятся в электрическом поле, которое действует на них с силой \pm q E . Определите массу шарика, если амплитуда малых поперечных колебаний шариков равна x_{0} , а максимальная скорость шариков v_0 .

1 Решение

1s Из условие: \begin{aligned}

& v_{\max} = v_0, \\

& x_{\max} = x_0.

\end{aligned}

При малых углах справедливо равенство: \sin \varphi \approx \operatorname{tg} \varphi \approx \varphi = \dfrac{x}{\frac{l}{2}}.

Из закона сохранения энергии системы получаем ответ: \dfrac{2mv_0^2}{2}=2qE\dfrac{l}{2}\sin \varphi \cdot \varphi \quad \Rightarrow \quad mv_0^2=qEx_0\dfrac{2x_0}{l} \quad \Rightarrow \quad m = \dfrac{2qEx_0^2}{v_0^2l}.

Ответ m = \dfrac{2qEx_0^2}{v_0^2l}.

Условие

Бусинка с зарядом q может двигаться без трения по натянутой нити длины 2 L , на концах которой закреплены заряды Q . Найдите приращение потенциальной энергии при смещении бусинки на x вдоль нити из ее центра. Убедитесь, что при малых смещениях зависимость приращения потенциальной энергии от x квадратичная. Найдите, на сколько сместится бусинка массы m , если в положении равновесия ей сообщат небольшую скорость v .

2 Решение

2s Запишем по определению изменение потенциальной энергии бусинки при её смещении на x из положения равновесия при учёте того, что энергия взаимодействия крайних зарядов не меняется: \Delta W = \dfrac{kqQ}{L+x} + \dfrac{kqQ}{L-x} - \dfrac{2kqQ}{L} = \dfrac{(L-x)L+(L+x)L-2(L^2-x^2)}{L(L^2-x^2)} = \dfrac{kqQ \cdot 2x^2}{L(L^2-x^2)}. При учёте малости смещения в сравнении с длиной нити ( x \ll L ) получим: \Delta W \approx \dfrac{2kqQ}{L^3} \cdot x^2. Тогда получаем квадратичную зависимость \Delta W(x) . Видно, что гармонические колебания будут только при малых x .

Запишем закон сохранения энергии при передаче бусинке небольшой скорости v : \dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{2kqQ}{L^3} \cdot x_{\max}^2 \quad \Rightarrow \quad x_{\max} = \dfrac{v}{2} \sqrt{\dfrac{mL^3}{kqQ}}.

Ответ x_{\max} = \dfrac{v}{2} \sqrt{\dfrac{mL^3}{kqQ}}.

Условие

а) Небольшое заряженное тело массы m может скользить по вертикальной спице, в нижней точке которой закреплен заряд, одноименный с зарядом тела. Положение равновесия тела находится на расстоянии R от этого заряда. Как зависит сила, действующая на тело, от малого его смещения x из положения равновесия?

б) Массу тела увеличили втрое, оставив заряды неизменными. На каком теперь расстоянии от нижнего конца спицы находится положение равновесия тела? Как зависит сила, действующая на тело, от малого его смещения из положения равновесия?

Решение

а) Из условия равновесия можем получить: mg = \dfrac{kqQ}{R^2}.

При небольшом смещении сила, действующая на тело m , будет выражаться следующим образом: \begin{aligned}

F& = \dfrac{kqQ}{(R+x)^2}-mg = \dfrac{kqQ-mg(R+x)^2}{(R+x)^2} = \\

& = \dfrac{kqQ-mgR^2-mg2Rx-mgx^2}{(R+x)^2}=-\dfrac{mg2Rx+mgx^2}{(R+x)^2}.

\end{aligned}

При условиях, что x \rightarrow 0 и x \ll R , имеем следующее: F \approx - mg\dfrac{2x}{R}, видно, что будут гармонические колебания.

б) При увеличении массы тела втрое получаем новое условие равновесия: 3mg=\dfrac{kqQ}{l^2} \quad \Rightarrow \quad l = \sqrt{\dfrac{kqQ}{3mg}} = \dfrac{R}{\sqrt{3}}.

При замене соответствующих переменных в зависимости F(x) получаем: \left.\begin{aligned}

& m \rightarrow 3m \\

& R \rightarrow l

\end{aligned}\right| F \approx -3mg \dfrac{2x}{l} = -6\sqrt{3}mg\dfrac{x}{R}.

Ответ а) F \approx - mg\dfrac{2x}{R} ; б) \dfrac{R}{\sqrt{3}} , F \approx -6\sqrt{3}mg\dfrac{x}{R}.

Условие

В однородном электрическом поле напряженности E гантель совершает колебания так, что в момент, когда она расположена поперек поля, скорости шариков гантели равны нулю. Определите скорость шариков в момент, когда гантель расположена вдоль поля. Масса шариков m , заряд \pm q , расстояние между центрами l .

Решение

4s Из теоремы об изменении кинетической энергии: A_{эл} = \Delta E_{к}, где A_{эл} = ( q\vec{E} \cdot \Delta \vec{l}) -работа электрического поля по перемещению зарядов из положения минимума кинетической энергии в положении максимума. Тогда 2 \cdot qE\dfrac{l}{2} = 2 \cdot \dfrac{mv^2}{2} - 0 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\dfrac{qEl}{m}}.

Ответ v = \sqrt{\dfrac{qEl}{m}}.

Условие

Найдите период малых колебаний гантели длины l с шариками массы m , расположенной вдоль однородного поля напряженностью E . Заряд шариков \pm q .

Решение

5s Запишем основное уравнение динамики вращательного движения: \sum M = I \varepsilon, где I и \varepsilon - момент инерции гантели относительно её центра и её угловое ускорение. Тогда: -2qE \cdot x = 2m \left(\dfrac{l}{2}\right)^2 \cdot \ddot{\varphi} \quad (1).

Из условия гармоничности колебательных движений: \sin \varphi \approx \varphi \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{l}{2}\sin \varphi \approx \dfrac{l}{2} \varphi \quad (2).

Подставив (2) в (1) и приведя подобные, получаем следующее уравнение колебательных движений гантели: \ddot{\varphi} + \dfrac{2qE}{ml} \cdot \varphi = 0 \quad \Rightarrow \quad \omega^2 = \dfrac{2qE}{ml} \quad \Rightarrow \quad T = 2\pi \sqrt{\dfrac{ml}{2qE}} \quad \left( T = \dfrac{2\pi}{\omega} \right).

Ответ T = 2\pi \sqrt{\dfrac{ml}{2qE}} .

Условие

Найдите период малых колебаний маятника, состоящего из шарика массы m , имеющего заряд q и подвешенного на нити длины l , если маятник поместить в электрическое поле напряженности E , направленное вдоль поля тяжести и под углом \pi / 2 к направлению поля тяжести.

Решение

6s1.1 Уравнение гармонических колебаний математического маятника в отсутствии электрического поля:

m\ddot{x}=-mg\sin \alpha \approx -mg \dfrac{x}{l} \quad \Rightarrow \quad \ddot{x} + \dfrac{g}{l}x = 0 \quad \Rightarrow \quad T = 2\pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}. Но в общем случае мы пользуемся понятием эффективного ускорения свободного падения ( g^* ). С ним период колебаний будет выглядеть следующим образом: T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g^*}}. Посмотрим, как им пользоваться в случае электростатического поля.

6s1.2 \left.\begin{aligned}

& mg \rightarrow mg + qE \\

& g \rightarrow g^*

\end{aligned}\right| \quad \Rightarrow \quad mg^* = mg+qE \quad \Rightarrow \quad g^* = \dfrac{mg+qE}{m} \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g^*}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{ml}{mg+qE}}.

В случае взаимно перпендикулярных полей ( m\vec{g} \perp \vec{E} ): mg \rightarrow F^* \quad \Rightarrow \quad g^* = \dfrac{F^*}{m}, где из теоремы Пифагора получаем: F^* = \sqrt{(mg)^2+(qE)^2}.

Тогда период колебаний в данном случае: T = 2\pi \sqrt{\dfrac{ml}{\sqrt{(mg)^2+(qE)^2}}}.

Ответ 2\pi\sqrt{\dfrac{ml}{mg+qE}} ; 2\pi \sqrt{\dfrac{ml}{\sqrt{(mg)^2+(qE)^2}}}.