Колебания в электростатике: Часть 2

Видео

Конспект

Условие

Тело массы m , заряд которого q , находится между двумя закрепленными зарядами Q , q Q>0 . Расстояние от тела до каждого из этих зарядов l . Определите частоту малых колебаний тела вдоль линии, соединяющей заряды Q .

Решение

7s Запишем 2 закон Ньютона в проекциях на ось x : m\ddot{x} = \dfrac{kqQ}{(l+x)^2} - \dfrac{kqQ}{(l-x)^2} = kqQ \dfrac{l^2-2lx+x^2-l^2-2lx-x^2}{(l^2-x^2)^2} \approx [x \ll l] \approx kqQ \dfrac{-4lx}{l^4} \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad \ddot{x}+\dfrac{4kqQ}{ml^3} \cdot x = 0. Тогда: \omega^2 = \dfrac{4kqQ}{l^3} \quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt{\dfrac{qQ}{\pi \varepsilon_0 l^3m}}.

Ответ \omega = \sqrt{\dfrac{qQ}{\pi \varepsilon_0 l^3m}}.

Условие

Найдите период малых колебаний тела массы m , заряд которого q , внутри гладкой сферы радиуса R , если в верхней точке сферы закреплен заряд Q .

Решение

8s Запишем основное уравнение динамики вращательного движения относительно центра сферы: \sum \vec{M} = I \cdot \vec{\varepsilon}, где I = m \cdot R^2, \quad M = - \left( \dfrac{kqQ}{4R^2} \cdot \dfrac{R}{2} \sin \alpha + mg \cdot R\sin \alpha \right) . При учёте малости угла колебания получаем: - \left( \dfrac{kqQ}{4R^2} \cdot \dfrac{R}{2} \alpha + mg \cdot R \alpha \right) = mR^2 \ddot{\alpha} \quad \Rightarrow \quad \ddot{\alpha} + \left( \dfrac{kqQ}{8mR^3} + \dfrac{g}{R} \right) \cdot \alpha = 0 \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad T = 2\pi \sqrt{\dfrac{1}{\frac{g}{R} + \frac{kqQ}{8mR^3}}}.

Ответ T = 2\pi \sqrt{\dfrac{1}{\frac{g}{R} + \frac{kqQ}{8mR^3}}} .

Условие

Найдите частоту малых колебаний математического маятника относительно его нижнего положения равновесия, если непосредственно под равновесным положением шарика на расстоянии h от него закреплен заряд Q . Длина нити l , масса шарика m , заряд q .

Решение

Из второго закона Ньютона при учёте малости угла колебания ( \sin \alpha \approx \alpha ): ml^2\ddot{\alpha} = -mgl \cdot \alpha + \dfrac{kqQ}{h^2} (l+h) \sin \beta.

Из геометрии можем определить: \left.\begin{aligned}

& \sin \alpha \approx \dfrac{x}{l} \\

& \sin \beta \approx \dfrac{x}{h}

\end{aligned} \right| \quad \Rightarrow \quad \sin \beta = \dfrac{l \sin \alpha}{h} \approx \dfrac{l}{h}\alpha. При учёте этого получаем: \ddot{\alpha} + \left(\dfrac{g}{l} - \dfrac{kqQ(l+h)}{mlh^3} \right)\alpha = 0 \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad \omega = \sqrt{\dfrac{g}{l} - \dfrac{kqQ(l+h)}{mlh^3}}, \quad при \quad \dfrac{kqQ(l+h)}{h^3} < mg.

Ответ \omega = \sqrt{\dfrac{g}{l} - \dfrac{kqQ(l+h)}{mlh^3}}, \quad при \quad \dfrac{kqQ(l+h)}{h^3} < mg.

Условие

Чему равен период малых колебаний четырех заряженных тел, связанных одинаковыми нитями длины l и движущихся так, как показано на рисунке? Масса тела m , заряд q .

Решение

Запишем энергию системы: \dfrac{2mv_x^2}{2} + \dfrac{2mv_y^2}{2} + \dfrac{kq^2}{l\sqrt{2} + 2x} + \dfrac{kq^2}{l\sqrt{2}-2y} = \operatorname{const} \quad (1).

Из условия нерастяжимости нитей: |v_x|=|v_y|, \quad |x|=|y|. Подставляя данные равенства в (1) , получаем: 2mv_x^2 + kq^2\dfrac{2l\sqrt{2}}{2l^2-4x^2} = \operatorname{const}. Продифференцировав выражение по времени, получим: 2m \cdot 2v_x \cdot \dot{v_x} + kq^22l\sqrt{2} \cdot \dfrac{(-1)}{(2l^2-4x^2)^2} \cdot (-8x) \cdot \dot{x} = 0 \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad \ddot{x} + \dfrac{kq^2l\sqrt{2}}{m} \cdot \dfrac{1}{(l^2-2x^2)^2} \cdot x = 0.

Поскольку колебания гармонические (малые), то x \ll l , тогда: \ddot{x} + \dfrac{kq^2\sqrt{2}}{ml^3} \cdot x = 0 \quad \Rightarrow \quad T = 2\pi \sqrt{\dfrac{ml^3}{kq^2\sqrt{2}}}.

Ответ T = 2\pi \sqrt{\dfrac{ml^3}{kq^2\sqrt{2}}}.

Условие

На гладкой горизонтальной непроводящей поверхности расположены три небольших по размерам шарика массой m и зарядом q каждый, связанные двумя нерастяжимыми непроводящими невесомыми нитями длиной а каждая. Шарики удерживают в положении, когда нити составляют угол, близкий к 180^{\circ} . Затем шарики отпускают. Найдите период свободных колебаний системы.

Решение

11s Из рисунка видно, что \cos \alpha = \sqrt{1-\left( \dfrac{\frac{3}{2}x}{a}\right)^2}.

Разложим ряд Маклорена (1) до второго порядка малости: f(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} \left.\dfrac{f^{(k)}(x)}{k!}\right|_{x=0} x^{k} + \operatorname{o}\left( x^{n} \right) \quad (1) \quad \Rightarrow \quad f(x) = f(0) + f'(0) x + f''(0) \dfrac{x^2}{2}. Запишем его для функций \sin (\alpha) и \cos (\alpha) : \sin\alpha = \sin 0 + \cos 0 \cdot \alpha + (-\sin 0) \cdot \dfrac{\alpha^2}{2} = \alpha, \cos \alpha = \cos 0 + (-\sin 0) \cdot \alpha + (-\cos 0) \cdot \dfrac{\alpha^2}{2} = 1 - \dfrac{\alpha^2}{2}.

Запишем закон сохранения импульса и энергии: mv_1+2mv_2=0 \quad \Rightarrow \quad v_2 = -\dfrac{v_1}{2}, \dfrac{mv^2}{2} + \dfrac{2m(v/2)^2}{2} + 2\dfrac{kq^2}{a} + \dfrac{kq^2}{2a\cos \alpha} = \operatorname{const}. Продифференцировав выражение по времени, получим: \dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t} \left( \dfrac{3}{4}mv^2 + \dfrac{kq^2}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{3x}{2a}\right)^2}}=\operatorname{const}\right) \quad \Rightarrow \quad \ddot{x} + \dfrac{3kq^2}{16ma} \cdot x = 0 \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad T = 2\pi \sqrt{\dfrac{16\pi\varepsilon_0ma^3}{3q^2}} = 2\pi \sqrt{\dfrac{4ma^3}{3kq^2}}.

Ответ T=8 \pi \sqrt{\frac{\pi \varepsilon_{0} m a^{3}}{3 q^{2}}} .