Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции.: Электростатика

№ 1.

Условие

1 На концах горизонтальной трубы длины l закреплены положительные заряды q_{1} и q_{2} . Найдите положение равновесия шарика с положительным зарядом q , который помещен внутрь трубы. Устойчиво ли это положение равновесия? Будет ли положение равновесия отрицательно заряженного шарика устойчивым?

Решение

2 Условие равновесия:

\sum \vec{F}=\vec{0} \quad \Rightarrow \quad F_1=F_2 \quad \Rightarrow \quad \frac{kqq_1}{x^2}=\frac{kqq_2}{(l-x)^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{\sqrt{q_1}}{x}=\frac{\sqrt{q_2}}{l-x}, откуда

x=\frac{l\sqrt{q_1}}{\sqrt{q_1}+\sqrt{q_2}} \quad \Rightarrow \quad x \text{ не зависит от } q! Устойчивость проверяется при отклонении на небольшое расстояние от положения равновесия.

При q>0 возникает возвращающая сила ( F_2 увеличивается, F_1 - уменьшается).

При q<0 силы меняют направление на противоположное. Результирующая сила будет выводить из состояния равновесия. Положение равновесия будет неустойчивым.

№ 2.

Условие

3 Два одинаково заряженных шарика массы m, подвешенных в одной точке на нитях длины l , разошлись так, что угол между нитями стал прямым. Определите заряд шариков.

Решение

F_k=\frac{kq^2}{(l\sqrt{2})^2}=\frac{kq^2}{2l^2}. Поскольку в равновесии \sum \vec{F} = \vec{0} , то решим векторно:

\operatorname{tg} \left( \alpha = 45^{\circ} \right) = \frac{F_k}{mg}=1 \quad \Rightarrow \quad \frac{kq^2}{2l^2}=mg \quad \Rightarrow \quad q=l\sqrt{\frac{2mg}{k}}. № 3.

Условие

5 Вокруг заряда q вращаются по круговой орбите, располагаясь в углах квадрата со стороной l , четыре одинаковых частицы массы m и заряда -q каждая. Заряд q находится в центре этого квадрата. Определите угловую скорость движения частиц по орбите.

Решение

6 Обозначим известные велечины:

r=\frac{\sqrt{2}}{2} l, \quad a_{ц.с.}=\omega^{2} \cdot r, \quad F_{1}=\frac{k q^{2}}{l^{2}}, \quad F_{2}=\frac{k q^{2}}{r^{2}}, \quad F_{3}=\frac{k q^{2}}{(2 r)^{2}}. По закону Ньютона на ось, направленную от заряда к центру орбиты:

m a_{ц.с.}=F_{2}-2 F_{1} \frac{\sqrt{2}}{2}-F_{3} \quad \Rightarrow \quad m \omega^{2} \frac{\sqrt{2}}{2} l=\frac{2 k q^{2}}{l^{2}}-2 \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{kq^{2}}{l^{2}}-\frac{k q^{2}}{2 l^{2}}. Отсюда выразим угловую скорость \omega :

\omega^{2}=\sqrt{2} \frac{k q^{2}}{l^{3}}\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}\right)=\frac{k q^{2}}{l^{3}}\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}-2\right) \quad \Rightarrow \quad \omega=\frac{q}{l} \sqrt{\frac{k}{l}\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}-2\right)}. № 4.

Условие

7 Какой минимальный заряд q нужно закрепить в нижней точке сферической полости радиуса R , чтобы в поле тяжести небольшой шарик массы m и заряда Q находился в верхней точке полости в положении устойчивого равновесия?

Решение

8 Отклоним на малый угол \alpha от положения равновесия в проекции на O x : F_{k_{x}} \geq mg\sin(2 \alpha), чтобы возникла возвращающая сила F_{k_{x}} , которая при \alpha \rightarrow 0 : F_{k_{x}} \approx \frac{k q Q}{(2 R)^{2}}.

Тогда:

\frac{k q Q}{4 R^{2}} \sin \alpha \geqslant m g \sin 2 \alpha \quad \Rightarrow \quad \frac{k g Q}{4 R^{2}} \geqslant 2 m g \cos \alpha. Поскольку \alpha \rightarrow 0 , то \cos \alpha \approx 1 . Тогда:

q_{\min }=\frac{8 m g R^{2}}{k Q}=\frac{32 \pi \varepsilon_{0 } mg R^{2}}{Q} № 5.

Условие

9 Семь одинаковых зарядов q связаны друг с другом одинаковыми упругими нитями так, как показано на рисунке. Расстояние между ближайшими зарядами l . Определите силу натяжения каждой нити.

Решение

Условие равновесия заряда:

\sum \vec{F}=\vec{0}. Запишем закон Ньютона в проекции на ось, направленную от центра шестиугольника, с учётом того, что |F_1|=\frac{kq^2}{l^2}=|F_2| , где F_1 и F_2 - силы с ближними соседями:

T_{2}+T_{1}=\frac{k q^{2}}{l^{2}}+\frac{k q^{2}}{l^{2}}+\frac{k q^{2}}{3 l^{2}} \frac{2\sqrt{3}}{2}+\frac{k q^{2}}{4 l^{2}} \quad \Rightarrow \quad T_{2}+T_{1}=\frac{k q^{2}}{l^{2}}\left(\frac{9}{4}+\frac{\sqrt{3}}{3}\right) Растянем на \Delta r центральные заряды, тогда крайние нити растянутся на \Delta x = \Delta r :

T_1 \sim \Delta x, \quad T_2 \sim \Delta r, а поскольку жёсткость данных нитей одинакова, то:

|T_1|=|T_2|. Тогда:

2 T=\frac{k q^{2}}{l^{2}}\left(\frac{9}{4}+\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \quad \Rightarrow \quad T=\frac{k q^{2}}{2 l^{2}}\left(\frac{9}{4}+\frac{\sqrt{3}}{3}\right).