Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции.: Электростатика

№ 6.

Условие

12 На нити длины R висит маленький шарик массы m с зарядом q . В точке подвеса нити закреплен заряд Q того же знака. Какую наименьшую скорость нужно сообщить шарику в нижней точке, чтобы он описал окружность в вертикальной плоскости? При каком условии значение этой скорости не зависит от массы m ? Ускорение свободного падения g .

Решение

13 Верхняя точка - критическая, поэтому в ней возможны 2 случая:

Если нить натянута, то T \geq 0 , и наименьшая скорость вверху v=0 .

T=0 , но v \neq 0 .

Запишем закон Ньютона в верхней точке траектории:

m\frac{v^2}{R}=T+mg-k\frac{qQ}{R^2}. Запишем закон сохранения энергии без учёта энергии взаимодействия зарядов, так как она не меняется:

\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+mg\cdot 2R \quad \Rightarrow \quad v_0^2=v^2+4gR, где v_0 - скорость в нижней точке, а v - скорость в верхней точке.

В первом случае получаем: v_0^2=4gR, при \frac{kqQ}{R^2}\geq mg (в этом случае ответ не зависит от m ).

Во втором случае:

\frac{mv^2}{R}=mg-\frac{kqQ}{R^2}. Тогда минимальная скорость:

v_0^2=5gR-\frac{kqQ}{mR}. № 7.

Условие

14 Три маленькие бусинки нанизаны на нитку длины l , концы которой соединены. Трения нет. Две бусинки заряжают до одинакового заряда Q , а третью бусинку до малого заряда q (q<<Q) , причем q Q>0 . В результате бусинки принимают конфигурацию, изображенную на рис. 2. Заряд q начинают постепенно увеличивать. При каком значении q конфигурация бусинок начнет изменяться? Рассчитайте новую конфигурацию при q=Q / 2 .

Решение

1.11 \quad Примем некоторые допущения: \alpha \rightarrow 0 \quad r \approx \frac{l}{4} .

Тогда с их учётом закон Ньютона для бусинки с зарядом q на Ox будет выглядеть следующим образом:

2T\sin \alpha=\frac{2kqQ}{\left( \frac{l}{4} \right) ^2}\sin \alpha \quad \Rightarrow \quad T=\frac{16kqQ}{l^2}. А для бусинки с зарядом Q на Oy с учётом того, что T_y=F_{k_y} :

F_k'=T \quad \Rightarrow \quad \frac{k Q^2}{\left( \frac{l}{2} \right)^2}=\frac{16k q Q}{l^2} \quad \Rightarrow \quad q_{\min}=\frac{Q}{4};

1.12 \quad При q=\frac{Q}{2} .

Напишем условия равновесия для бусинок с зарядами q и Q соответственно:

\begin{aligned}

& |T|=|F_k|=\frac{kqQ}{r^2} \\

&|T|=|F_k^{\prime}|=\frac{kQ^2}{d^2}

\end{aligned}. Тогда:

\left.\begin{aligned}

&\frac{1}{2r^2}=\frac{1}{d^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{r}{d}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\

&\cos \alpha = \frac{d/2}{r}

\end{aligned}\right\} \quad \Rightarrow \quad \alpha = 45^{\circ}. Поскольку d=l-2r , то:

r=\frac{l}{2-\sqrt{2}}. № 8.

Условие

Два разноименных точечных заряда q и - 4 q закреплены на расстоянии a друг от друга. Каким должен быть заряд q_{0} и где следует его расположить, чтобы вся система находилась в равновесии? Решите также случай, заменив заряд -4 q на +4 q .

Решение

1.13 Известно, что в точке, где должен находиться заряд q_0 , напряжённость электрического поля E=0 , запишем это:

\frac{k q }{(a+x)^{2}}-\frac{4 k q }{x^{2}}=0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{a+x}=\frac{2}{x} \quad \Rightarrow \quad x=-2 a, где x - расстояние от заряда -4q до q_0 , рассчитываемое вправо.

Тогда расположение данных зарядов должно быть следующим:

1.14 Тогда, чтобы система находилась в равновесии, суперпозиция напряжённостей всех зарядов в точке A должна быть нулевой:

\frac{k q_0 }{a^{2}}+\frac{4 k q}{a^{2}}=0 \quad \Rightarrow \quad q_0=-4 q Теперь заменим заряд -4q на +4q . Будем решать аналогичным образом:

1.15 \begin{aligned}

&\frac{k q }{(a-x)^{2}}=\frac{4 k q }{x^{2}} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{a -x}=\frac{2}{x} \quad \Rightarrow \quad x=\frac{2 a}{3} \\

&\frac{q_0}{x^{2}}+\frac{q}{a^{2}}=0 \quad \Rightarrow \quad q_0=-q \frac{x^{2}}{a^{2}}=-\frac{4}{9} q

\end{aligned}