Потенциал. Потенциал точечного заряда. Суперпозиция. Потенциал заряженной сферы.: Электростатика

№ 1

Условие

а. Потенциал заряженного проводника 300 В. Какой минимальной скоростью должен обладать электрон, чтобы улететь с поверхности проводника на бесконечно далекое от него расстояние?

б. Протон на большом расстоянии от проводника имел скорость v . Потенциал проводника \varphi . Траектория протона заканчивается на поверхности проводника. Какую скорость имел протон вблизи поверхности?

Решение

a.

7.1 Из закона сохранения энергии:

-\varphi e + \frac{m_ev_{\min}^2}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad v_{\min} = \sqrt{\frac{2\varphi e}{m_e}} \approx 10^7 м/с. б.

7.2 Аналогично предыдёщему пункту:

\frac{m_p v_{\infty}^2}{2} = \varphi e + \frac{m_pv^2}{2} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{{\frac{2}{m_p} \cdot \left( \frac{m_p v_{\infty}^2}{2} - \varphi e \right)}}. № 2

Условие

а. Определите разность потенциалов электрического поля между точками 1 и 2, если известно, что электрон, двигаясь в этом электрическом поле в отсутствие других сил, в точке 1 имел скорость 10^{9} см/с, а в точке 2 - скорость 2 \cdot 10^{9} см/с. Чему была бы равна скорость электрона в точке 2, если бы в точке 1 электрон имел нулевую скорость?

б. В электронной лампе электроны «ускоряются разностью потенциалов» 220 В. Чему равна скорость электронов при попадании их на анод?

Решение

а.

Из закона сохранение энергии:

1.png

\begin{aligned}

&-e \varphi_1 + \frac{m_e v_1^2}{2} = -e\varphi_2 + \frac{m_ev_2^2}{2} \quad \Rightarrow \\

&\Rightarrow \quad \Delta \varphi_{12} = \varphi_1 - \varphi_2 = \frac{m_e (v_1^2 - v_2^2)}{2e} \approx -850 В.

\end{aligned}

б.

Аналогично предыдущему пункту воспользуемся законом сохранения энергии:

\frac{m_ev^2}{2} - e\varphi_2 = -e\varphi_1 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2e (\varphi_2 - \varphi_1)}{m_e}} \approx 8,8 \cdot 10^6 м/с. 2.png

Интересный факт: в вакуумных приборах "анод" притягивает электроны.

№ 3

Условие

Заряд 0,1 Кл удален от заряда 0,2 Кл на расстояние 20 м. Чему равен потенциал поля в середине отрезка, соединяющего заряды?

Решение

7.5 Потенциал поля равен сумме потенциалов каждого из зарядов:

\varphi = \varphi_1 + \varphi_2 = \frac{kq_1}{\frac{l}{2}} + \frac{kq_2}{\frac{l}{2}} = \frac{2k(q_1+q_2)}{l} \quad \Rightarrow \quad \varphi = 2,7 \cdot 10^8 В. № 4

Условие

В вершинах квадрата со стороной l находятся четыре заряда q . Чему равен потенциал поля в центре квадрата?

3.png

Решение

Расстояние от центра квадрата до каждого из зарядов равен \frac{\sqrt{2}}{2}l , тогда аналогично предыдущей задачи:

\varphi = \sum \varphi_i = \frac{kq}{\frac{\sqrt{2}}{2}l} \cdot 4 = \frac{4\sqrt{2}kq}{l}.

№ 5

Условие

Четыре точечных заряда q находятся в вершинах квадрата со стороной a . Найдите разность потенциалов между точками 1 и 2.

4.png

Решение

5.png Для начала найдём потенциал каждой точки:

\left.

\begin{aligned}

&\varphi_1 = \frac{4\sqrt{2}kq}{a} \\

&\varphi_2 = \frac{2kq}{a/2} + \frac{2kq}{\sqrt{5}a/2}

\end{aligned} \right\} \quad \Rightarrow \quad \Delta \varphi = \frac{4kq}{a} \cdot \left( \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right).