Потенциал. Потенциал точечного заряда. Суперпозиция. Потенциал заряженной сферы.: Электростатика

№ 6

Условие

Заряды 100 q , 10 q , q , -10 q , -q , -10 q находятся в вершинах правильного шестиугольника со стороной l . Чему равен потенциал поля в центре шестиугольника?

Решение

Как и в случае с предыдущими задачами:

6.png

\varphi = \sum\frac{kq_i}{l} = \frac{k}{l} \left( \sum q_i \right) \quad \Rightarrow \quad \varphi = \frac{(100 - 10)kq}{l} = \frac{90kq}{l}.

№ 7

Условие

Две стороны правильного треугольника образованы одинаковыми равномерно заряженными палочками. При этом в центре треугольника потенциал равен \varphi_{0} , а напряженность электрического поля равна E_{0} . Найдите потенциал \varphi , а также модуль и направление вектора напряженности E , которые будут в точке O , если убрать одну из палочек.

7.png

Решение

После того как убрали палочку, потенциал поля в точке O :

8.png \varphi = \varphi_1 + \varphi_2. Из-за симметрии:

|\varphi_1| = |\varphi_2| \quad \Rightarrow \quad \varphi = 2\varphi_1. Из принципа суперпозиции:

\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}, а из симметрии:

|\vec{E_1}| = |\vec{E_2}| \quad \Rightarrow \quad |\vec{E}| = |\vec{E_1}|. Когда останется одна палочка:

\varphi_1 = \frac{\varphi}{2}.

№ 8

Условие

Стороны AB , BC и CD квадрата ABCD образованы одинаковыми равномерно заряженными тонкими палочками, при этом в центре квадрата потенциал равен \varphi . Найдите потенциал в центре, если убрать палочку AB .

Решение

7.10 Так как потенциалы равны из симметрии, то:

\varphi = 3\varphi_1. Если же убрать 2 палочки, то:

\varphi' = 2\varphi_1 = \frac{2}{3} \varphi. № 9

Условие

Чему равен потенциал электрического поля в центре равномерно заряженного тонкого кольца радиусом R ? Чему он равен на оси кольца на расстоянии h от его центра? Заряд кольца Q .

Решение

Потенциал, создаваемый каждым из маленьких участков, равен:

\Delta \varphi_{\Sigma} = \frac{k\Delta q}{\sqrt{R^2 + h^2}}, а потенциал результирующего поля равен:

\varphi_{\Sigma} = \sum \Delta \varphi_{\Sigma} = \frac{kq}{\sqrt{R^2+h^2}}. При h=0 получаем:

\varphi_{\Sigma} = \frac{kq}{R}. № 10

Условие

Чему равен потенциал электрического поля в центре равномерно заряженного тонкого диска радиусом R ? Поверхностная плотность заряда диска \sigma .

Решение

Разобьём диск на тонкие кольца толщиной \Delta r . Рассмотрим одно из таких колец радиусом r<R и воспользуемся результатом предыдущей задачи.

Для центра диска:

\Delta \varphi = \frac{k\Delta q}{\sqrt{r^2 + h^2}} = \frac{k\sigma \cdot 2\pi r \Delta r}{\sqrt{r^2 + h^2}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 + h^2}} \Delta r. Отсюда получаем:

\varphi = \sum\limits_{r=0}^R \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 + h^2}} \Delta r = \frac{\sigma}{4\varepsilon_0} \cdot \sum\limits_{r=0}^R \frac{r}{\sqrt{r^2 + h^2}} \Delta r. № 11

Условие

Имеются две концентрические проводящие сферы. Внутренняя имеет радиус R_{1} и заряд q_{1} ; внешняя имеет радиус R_{2} и заряд q_{2} . Найдите потенциалы сфер.

Решение

9.png

Зависимость потенциала сферы от расположения точки ( x ):

\begin{cases}

\begin{aligned}

& \frac{kq}{R}; \quad x \leq R \\

& \frac{kq}{x}; \quad x \geq R

\end{aligned}

\end{cases}. Суперпозиция:

\begin{aligned}

&x = R_1 \quad \Rightarrow \quad \frac{kq_1}{R_1} + \frac{kq_2}{R_2} \\

&x = R_2 \quad \Rightarrow \quad \frac{kq_1}{R_2} + \frac{kq_2}{R_2} = \frac{k(q_1+q_2)}{R_2}

\end{aligned}. № 12

Условие

Три проводящие концентрические сферы радиуса r, 2 r и 3 r имеют заряд соответственно q , 2 q и -3q . Определите потенциал на каждой сфере.

Решение

10.png

Данная задача решается аналогично предыдущей:

\begin{aligned}

&\varphi_1 = \frac{kq}{r} + \frac{k2q}{2r} + \frac{k(-3q)}{3r} = \frac{kq}{r} \\

&\varphi_2 = \frac{kq}{2r} + \frac{k2q}{2r} + \frac{k(-3q)}{3r} = \frac{kq}{2r} \\

&\varphi_3 = \frac{kq}{3r} + \frac{k2q}{3r} + \frac{k(-3q)}{3r} = 0

\end{aligned}. Потенциал третьей сферы равен нулю, следовательно, напряжённость электрического поля тоже равна нулю при x>3r по теореме Гаусса; \quad \Rightarrow \quad \varphi_3 = \varphi_{\infty} = 0 .