Движение заряженных частиц в постоянном электрическом поле: Часть 1

Видео

Конспект

Движение заряженных частиц в постоянном электрическом поле

Условие

В каком случае заряженная частица в электрическом поле движется вдоль силовых линий?

Решение

Заряженная частица в электрическом поле будет двигаться вдоль силовых линий в том случае, когда её начальная скорость будет сонаправлена или противоположно направлена силовым линиям этого поля, либо будет равняться нулю. Поскольку в электрическом поле на заряженную частицу будет действовать только сила со стороны него же: \vec{F}_{э} = q\vec{E}.

Силой тяжести можно пренебречь, поскольку |\vec{F}_{э}| \gg m|\vec{g}| .

Ответ см. решение.

Условие

Электрон влетает в область однородного электрического поля напряженности 200 В/м со скоростью 10^{7} м/с. Скорость направлена вдоль электрического поля. В течение какого времени электрон будет находиться в области этого поля? Определите, на каком расстоянии от места входа в поле электрон выйдет из него, если он влетает под углом 45^{\circ} к направлению поля.

Решение

Из второго закона Ньютона в проекциях на ось, сонаправленную с силовыми линиями электрического поля, можем найти ускорение электрона: ma = qE \quad \Rightarrow \quad a = \dfrac{qE}{m}.

Перемещение электрона относительно той же оси равно нулю, тогда из кинематики знаем: v_0 t - \dfrac{at^2}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \dfrac{2v_0}{a} = \dfrac{2v_0m}{qE} \approx 0,56 мкс.

При ответе на второй вопрос задачи мы можем провести аналогию с баллистикой:

2s Тогда из уровнений баллистики можем найти смещение x : x = \dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{a} = \dfrac{mv_0^2\sin 2\alpha}{qE} \approx 2,81 м.

Ответ 0,56 мкс ; 2,81 м.

Условие

Частица, заряд которой q , а масса m , пролетает область однородного электрического поля протяженности d за время t . Скорость v частицы на входе в поле направлена вдоль поля. Определите напряженность электрического поля.

Решение

3s Из второго закона Ньютона в проекциях на ось, сонаправленную с силовыми линиями электрического поля, можем найти ускорение частицы: ma = qE \quad \Rightarrow \quad a = \dfrac{qE}{m}. \quad (1)

Перемещение электрона относительно той же оси равно d , тогда из кинематики знаем: v t + \dfrac{at^2}{2} = d. \quad (2)

Подставляя ускорение (1) в (2) получим ответ: v t + \dfrac{qE}{m} \cdot \dfrac{t^2}{2} = d \quad \Rightarrow \quad E = \dfrac{2(d-vt)m}{qt^2}.

Ответ E = \dfrac{2(d-vt)m}{qt^2} .

Условие

Частица массы m с зарядом q>0 влетает в плоский конденсатор, обкладками которого являются металлические сетки. Напряженность поля в конденсаторе E , расстояние между сетками d . Начальная скорость v частицы составляет угол \alpha с плоскостью первой сетки. С какой скоростью и под каким углом к плоскости второй сетки вылетит частица из конденсатора?

4 Решение

4s Из теоремы об изменении кинетической энергии: qEd = \dfrac{mv_2^2}{2} - \dfrac{mv^2}{2} \quad \Rightarrow \quad v_2 = \sqrt{2\dfrac{qEd}{m} + v^2}.

Поскольку сила электрического поля действует только по оси y , то проекция скорости на ось x сохраняется: v_x = \operatorname{const} \quad \Rightarrow \quad v\cos \alpha = v_2 \cos \beta \quad \Rightarrow \quad \cos \beta = \dfrac{v\cos \alpha}{\sqrt{2\frac{qEd}{m} + v^2}}.

Ответ v_2 = \sqrt{2\dfrac{qEd}{m} + v^2} ; \cos \beta = \dfrac{v\cos \alpha}{\sqrt{2\frac{qEd}{m} + v^2}} .

Условие

Протон и \alpha -частица, двигаясь с одинаковой скоростью, влетают в плоский конденсатор параллельно пластинам. Во сколько раз отклонение протона полем конденсатора от прямолинейной траектории будет больше отклонения \alpha -частицы?

Решение

5s Поскольку \alpha -частица, это ядро гелия \operatorname{He}_2^4 , то её заряд в два раза больше заряда протона, а масса в 4 раза больше массы протона. Тогда из второго закона Ньютона в проекциях на ось, сонаправленную с силовыми линиями электрического поля, можем найти ускорения частиц: \left.\begin{aligned}

& q_pE = m_pa_p \\

& q_{\alpha}E = m_{\alpha}a_{\alpha}

\end{aligned}\right| \quad \Rightarrow \quad \dfrac{a_p}{a_{\alpha}} = 2.

Перемещение частиц по той же оси: \left.\begin{aligned}

& S_p = 0\cdot t + \dfrac{a_pt^2}{2} \\

& S_{\alpha} = 0\cdot t + \dfrac{a_{\alpha}t^2}{2}

\end{aligned}\right| \quad \Rightarrow \quad \dfrac{S_p}{S_{\alpha}} = \dfrac{a_p}{a_{\alpha}} = 2

Ответ 2.

Условие

Частицы массы m с зарядом q влетают в плоский конденсатор длины l под углом \alpha к плоскости пластин, а вылетают под углом \beta . Определите первоначальную кинетическую энергию частиц, если напряженность поля внутри конденсатора E .

6 Решение

Запишем систему уравнений, описывающих движение частиц в конденсаторе: \begin{cases}

\begin{aligned}

& v_0\cos \alpha = v\cos \beta \\

& S_x = l = v_0\cos \alpha t\\

& S_y = -v_0\sin \alpha t + \dfrac{qE}{m}\cdot \dfrac{t^2}{2} = v\sin \beta t - \dfrac{qE}{m}\cdot \dfrac{t^2}{2}

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad

\begin{cases}

\begin{aligned}

& v = v_0\dfrac{\cos \alpha}{\cos \beta} \\

& t = \dfrac{l}{v_0\cos \alpha} \\

& v_0\sin \alpha - \dfrac{qE}{m}\cdot t = -v\sin \beta

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad v_0\sin \alpha - \dfrac{qE}{m} \cdot \dfrac{l}{v_0\cos \alpha} = -v_0\cos \alpha \operatorname{tg} \beta \quad \left| \times \dfrac{v_0}{\sin \alpha} \right. \quad \Rightarrow \quad v_0^2(1 + \operatorname{ctg}\alpha \operatorname{tg} \beta ) = \dfrac{2qEl}{m\sin 2\alpha} \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad W = \dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{qEl}{\sin 2\alpha (1 + \operatorname{ctg}\alpha \operatorname{tg} \beta)}.

Ответ W = \dfrac{qEl}{\sin 2\alpha (1 + \operatorname{ctg}\alpha \operatorname{tg} \beta)}.

Условие

Электрон, движущийся со скоростью v_{1} , переходит из области поля с потенциалом \varphi_{1} в область с потенциалом \varphi_{2} . Под каким углом к границе раздела областей будет двигаться электрон, если он подлетел к ней под углом \alpha ?

7 Решение

По теореме об изменении кинетической энергии: e(\varphi_2-\varphi_1) = \dfrac{mv_2^2}{2} - \dfrac{mv_1^2}{2} \quad \Rightarrow \quad v_2 = \sqrt{v_1^2 + \dfrac{2e}{m}(\varphi_2-\varphi_1)}.

Поскольку по оси вдоль границы сила электрического поля не действует ( E \perp \partial(\varphi_1 \rightarrow \varphi_2) ), то проекция скорости на неё сохраняется: v_1\cos \alpha = v_2\cos \beta. Имеем: \cos \beta = \dfrac{v_1}{v_2} \cos \alpha = \dfrac{v_1\cos \alpha}{\sqrt{v_1^2 + \frac{2e}{m}(\varphi_2-\varphi_1)}}.

Ответ \cos \beta = \dfrac{v_1\cos \alpha}{\sqrt{v_1^2 + \frac{2e}{m}(\varphi_2-\varphi_1)}}.

Условие

Две сферы радиуса R имеют одинаковый заряд Q , распределенный равномерно по ее поверхности. Какую минимальную энергию нужно сообщить электрону на поверхности одной из сфер, чтобы он достиг второй сферы? Расстояние между центрами сфер l .

Решение

8s Чтобы электрон преодолел расстояние от одной сферы до другой, нужно сообщить ему энергию, которой хватит для того, чтобы он прошёл половину пути, поскольку в центре между сферами находится равновесное положение для него. Соответственно он достигнет данной точки, преодолеет её благодаря инерции, а дальше достигнет другой сферы благодаря работе сил электрического поля сфер. Из закона сохранения энергии: \dfrac{mv^2}{2} - e\varphi_1 = -e\varphi_2 \quad \Rightarrow \quad W = \dfrac{mv^2}{2} = e(\varphi_1-\varphi_2), где \varphi_1 и \varphi_2 - соответственно потенциалы точек поверхности сферы, с которой электрон отрывается, и середины расстояния между сферами. Их мы можем найти по определению: \varphi_1 = k\dfrac{Q}{R} + k\dfrac{Q}{l-R}, \quad \varphi_2 = 2 k\dfrac{Q}{\frac{l}{2}}=k\dfrac{4Q}{l}. Тогда W = e(\varphi_1-\varphi_2) = eQ k\cdot \left( \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{l-R} - \dfrac{4}{l} \right).

Ответ W = eQ k\cdot \left( \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{l-R} - \dfrac{4}{l} \right).

Условие

В тонкостенной непроводящей равномерно заряженной сфере массы M и радиуса R имеются два небольших диаметрально противоположных отверстия. Заряд сферы Q . В начальный момент сфера покоится. По прямой, соединяющей отверстия, из бесконечности движется со скоростью v частица массы m с зарядом q , одноименным с Q . Найдите время, в течение которого частица будет находиться внутри сферы.

Решение

9s Поскольку напряжённость электрического поля внутри сферы отсутствует, то скорость частицы внутри сферы меняться не будет. Запишем закон сохранения импульса и энергии для системы "сфера-частица": \begin{cases}

\begin{aligned}

& mv = Mv_2 + mv_1 \\

& \dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{Mv_2^2}{2} + \dfrac{mv_1^2}{2} + \dfrac{kqQ}{R}

\end{aligned}

\end{cases}.

Время полёта частицы внутри сферы: t = \dfrac{2R}{v_{отн}}, где v_{отн} = v_1 - v_2 . Тогда имеем: \begin{cases}

\begin{aligned}

& v_1=\dfrac{mv+Mv_{отн}}{M+m} \\

& v_2=\dfrac{mv-mv_{отн}}{M+m} \\

& \dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{M}{2} \cdot \left(\dfrac{mv-mv_{отн}}{M+m}\right)^2 + \dfrac{m}{2} \cdot \left(\dfrac{mv+Mv_{отн}}{M+m}\right)^2 + \dfrac{kqQ}{R}

\end{aligned}

\end{cases}. Решим квадратное уравнение, корнями которого будет v_{отн} : \dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{Mm^2}{2(M+m)^2} \cdot \left(v-v_{отн}\right)^2 + \dfrac{mM^2}{2(M+m)^2} \cdot \left(\dfrac{m}{M}v+v_{отн}\right)^2 + \dfrac{kqQ}{R} \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad \dfrac{Mm}{2(M+m)^2} \cdot \left[ m\left(v-v_{отн}\right)^2 + M\left(\dfrac{m}{M}v+v_{отн}\right)^2 \right] + \dfrac{kqQ}{R} - \dfrac{mv^2}{2} = 0 \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad \left.\dfrac{Mm}{2(M+m)^2} \cdot (M+m)(v_{отн}^2 + \dfrac{m}{M}v^2) + \dfrac{kqQ}{R} - \dfrac{mv^2}{2} = 0 \quad \right| \times \dfrac{2(M+m)}{Mm} \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad v_{отн}^2 + \dfrac{m}{M}v^2 = \left(\dfrac{mv^2}{2} - \dfrac{kqQ}{R}\right) \cdot \dfrac{2(M+m)}{Mm} \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad v_{отн}^2 = v^2 - \dfrac{kqQ}{R} \cdot \dfrac{2(M+m)}{Mm} \quad \Rightarrow \quad v_{отн} = \sqrt{v^2 - \dfrac{kqQ}{R} \cdot \dfrac{2(M+m)}{Mm}}.

Отсюда получаем условие на начальную скорость частицы: v > \sqrt{\dfrac{kqQ}{R} \cdot \dfrac{2(M+m)}{Mm}}, поскольку иначе частица будет двигаться в сфере бесконечно долгое время (в случае равенства) или вообще полетит обратно.

Окончательно время движения частицы в сфере: t = \dfrac{2R}{v_{отн}} = \dfrac{2R}{\sqrt{v^2 - \frac{kqQ}{R} \cdot \frac{2(M+m)}{Mm}}}.

Ответ t = \dfrac{2R}{v_{отн}} = \dfrac{2R}{\sqrt{v^2 - \frac{kqQ}{R} \cdot \frac{2(M+m)}{Mm}}}.