Движение заряженных частиц в постоянном электрическом поле: Часть 2

Видео

Конспект

Условие

Частица массы m , имеющая заряд q , движется с большого расстояния по направлению к центру равномерно заряженной незакрепленной сферы. Радиус сферы R , ее заряд Q , масса M . Какой скоростью должна обладать частица на большом расстоянии от сферы, чтобы через небольшие отверстия пролететь сквозь нее? q Q>0 .

Решение

10s Начальная скорость частицы должна быть больше той, при которой относительная скорость движения её и сферы равна нулю ( v_1=v_2 \equiv u ) в тот момент времени, когда частица влетает внутрь неё, поскольку напряжённость электрического поля внутри сферы отсутствует, следовательно, скорость частицы меняться не будет.

Запишем закон сохранения импульса и энергии для системы "сфера-частица" в описанном выше случае: \begin{cases}

\begin{aligned}

& mv = Mu + mu \\

& \dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{Mu^2}{2} + \dfrac{mu^2}{2} + \dfrac{kqQ}{R}

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad

\begin{cases}

\begin{aligned}

& u = v\dfrac{m}{M+m} \\

& \dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{mv^2}{2} \cdot \dfrac{Mm}{(M+m)^2} + \dfrac{mv^2}{2} \cdot \dfrac{m^2}{(M+m)^2} + \dfrac{kqQ}{R}

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad \dfrac{mv^2}{2} \cdot \dfrac{(M+m)^2 - Mm - m^2}{(M+m)^2} = \dfrac{kqQ}{R} \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad \dfrac{mv^2}{2} \cdot \dfrac{M}{M+m} = \dfrac{kqQ}{R} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\dfrac{2kqQ(M+m)}{RMm}}. Тогда частица на большом расстоянии от сферы должна обладать следующей скоростью, чтобы пролететь сквозь нее через небольшие отверстия: v > \sqrt{\dfrac{2kqQ(M+m)}{RMm}}.

Ответ v > \sqrt{\dfrac{2kqQ(M+m)}{RMm}}.

Условие

Частица массы m , имеющая заряд q , со скоростью v_{0} приближается с большого расстояния к заряженному незакрепленному кольцу, двигаясь по его оси. Радиус кольца R , заряд Q , масса M . Вначале кольцо покоится. Чему будет равна скорость частицы, когда она будет проходить через центр кольца? Известно, что qQ > 0 .

Решение

11s(new task) Из-за осевой симметрии кольца радиальные составляющие сил, с которыми частица действует на все его элементы, компенсируют друг друга. Поэтому равнодействующая сила, действующая на кольцо, направлена вдоль оси. Так как кольцо изначально покоилось, оно начнет двигаться вдоль оси по второму закону Ньютона, то есть его скорость будет сонаправлена с осью (и со скоростью частицы).

Поскольку система <<частица-кольцо>> замкнутая и консервативная, будут выполнятся законы сохранения импульса и энергии системы. Запишем ЗСИ в проекциях на ось, сонаправленную с осью движения кольца и частицы, и ЗСЭ соответственно для момента прохождения частицы через центр кольца: \left\{\begin{aligned}

&mv_0 = Mu + mv \\

&\dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{Mu^2}{2} + \dfrac{mv^2}{2} + \dfrac{kqQ}{R}

\end{aligned}\right. Обоснуем вид потенциальной энергии взаимодействия частицы и кольца: E_{п} = \sum_i q \varphi_i = q \sum_i \dfrac{k\Delta q_i}{R} = k\dfrac{qQ}{R}, где \varphi_i - потенциал, создаваемый элементом кольца \Delta q_i в его центре.

Выразим скорость кольца в момент прохождения частицы через его центр из первого уровнения системы и подставим во второе: \left\{\begin{aligned}

&u = (v_0 - v) \cdot \dfrac{m}{M} \\

&\dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{(v_0 - v)^2 \cdot m^2}{2M} + \dfrac{mv^2}{2} + \dfrac{kqQ}{R}

\end{aligned}\right. Тогда можем выразить скорость частицы в момент прохождения центра кольца: \left.\dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{m^2v_0^2}{2M} - \dfrac{m^2v_0v}{M} + \dfrac{m^2v^2}{2M} + \dfrac{mv^2}{2} + \dfrac{kqQ}{R}\right| \cdot \dfrac{2M}{m^2} \quad \Rightarrow \quad v^2 \cdot \dfrac{m+M}{m} - 2v_0v + v_0^2 \cdot \dfrac{m-M}{m} + \dfrac{2kqQM}{Rm^2} = 0. Получаем квадратное уровнение: D = 4v_0^2 - 4\dfrac{m+M}{m} \left(v_0^2 \cdot \dfrac{m-M}{m} + \dfrac{2kqQM}{Rm^2}\right) = \dfrac{4M}{m^2} \cdot \left( v_0^2M - 2 \dfrac{m+M}{m} \cdot \dfrac{kqQ}{R} \right) Тогда: v = \dfrac{mv_0 \pm \sqrt{v_0^2M^2-2(m+M)\frac{M}{m}\frac{kqQ}{R}}}{m+M} = \dfrac{\frac{m}{M}v_0 \pm \sqrt{v_0^2-2\left(\frac{1}{m} + \frac{1}{M}\right)\frac{kqQ}{R}}}{1+\frac{m}{M}}. Из соображений того, что частица должна обогнать кольцо: v = \dfrac{\frac{m}{M}v_0 + \sqrt{v_0^2-2\left(\frac{1}{m} + \frac{1}{M}\right)\frac{kqQ}{R}}}{1+\frac{m}{M}}.

Ответ v = \frac{\frac{m}{M}v_0 + \sqrt{v_0^2-2\left(\frac{1}{m} + \frac{1}{M}\right)\frac{kqQ}{R}}}{1+\frac{m}{M}}.

Условие

Частица массы m , имеющая заряд q , приближается с большого расстояния к равномерно заряженному незакрепленному шару, двигаясь по направлению к центру шара. Радиус шара R , заряд Q , масса M . Вначале шар покоится. Какую наименьшую скорость должна иметь частица на большом расстоянии от шара, чтобы пройти через его центр?

Решение

Вспомним вид электрической напряжённости поля шара: E = \left\{\begin{aligned}

&\dfrac{\rho}{3\varepsilon_0} \cdot x,&x<R \\

&\dfrac{\rho}{3\varepsilon_0} \cdot \dfrac{R^3}{x^2},&x\geq R

\end{aligned}\right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \rho = \dfrac{Q}{V} \ (V = \dfrac{4}{3}\pi R^3) \right] \quad \Rightarrow \quad \left\{\begin{aligned}

&\dfrac{kQ}{R^3} \cdot x,&x<R \\

&\dfrac{kQ}{x^2},&x\geq R

\end{aligned}\right. Тогда потенциал шара: \varphi=-\int E\operatorname{d}x = \left\{\begin{aligned}

&-\dfrac{kQ}{R^3} \cdot \dfrac{x^2}{2} + C_1 = \varphi_1,&x<R \\

&\dfrac{kQ}{x} + C_2 = \varphi_2,&x\geq R

\end{aligned}\right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \varphi_2\Big|_{x=+\infty} = 0; \ \varphi_1\Big|_{x=R} = \varphi_2\Big|_{x=R} \right] \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad \varphi=\left\{\begin{aligned}

&\dfrac{kQ}{2R} \cdot \left( 3 - \dfrac{x^2}{R^2} \right),&x<R \\

&\dfrac{kQ}{x},&x\geq R

\end{aligned}\right. График потенциала шара:

12s(new task) Как и в предыдущей задаче, из-за осевой симметрии шара скорости шара и частицы будут направлены по линии центров. Чтобы пройти насквозь, ей нужно иметь достаточный запас энергии, чтобы добраться до центра шара. В центре электрическое поле шара исчезает, и если частица достигла его, дальше она пройдет по инерции. Минимальная скорость - это когда она добирается до центра, полностью исчерпав избыток своей скорости относительно шара, то есть их относительная скорость будет равна 0 . Напишем законы сохранения энергии и импульса системы: \left\{\begin{aligned}

& mv_0=(M+m)u \\

&\dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{(M+m)u^2}{2}+q\varphi\Big|_{x=0}

\end{aligned}\right. Если перейти в систему отсчёта, связанную с центром масс: \dfrac{\mu v_0^2}{2} = \dfrac{3kqQ}{2R}, где \mu=\dfrac{Mm}{M+m} - приведённая масса. Тогда: v_0 = \sqrt{\dfrac{3kqQ}{\mu R}} = \sqrt{\dfrac{3kqQ(M+m)}{MmR}}.

Ответ v_0 = \sqrt{\frac{3kqQ(M+m)}{MmR}}.