Метод изображений.: Электростатика

№ 1

Условие

Точечный заряд Q находится на расстоянии h от бесконечной металлической плоскости. Какая сила действует на заряд со стороны плоскости? (6.3.28)

Решение

Поскольку проводящая плоскость не заряжена и бесконечна, то ее потенциал можно считать равным нулю. Взаимодействие точечного заряда q с такой бесконечной проводящей плоскостью идентично взаимодействию этого заряда с таким же по модулю, но противоположным по знаку зарядом -q , расположенным зеркально симметрично относительно плоскости (то есть со своим зеркальным изображением). Это объясняется тем, что заряд и его зеркальное изображение совместно обеспечивают равенство нулю потенциала в любой точке поверхности плоскости. Поэтому электрическое поле над плоскостью, создаваемое зарядом q и его зеркальным изображением, эквивалентно полю, создаваемому зарядом q и зарядами, индуцированными на плоскости (напряженность поля в проводнике, разумеется, равна нулю). Поскольку действующая на заряд сила Кулона определяется напряженностью электрического поля, то искомая сила равна

F=\frac{k q^{2}}{(2 h)^{2}}=\frac{k q^{2}}{4 h^{2}} . № 2

Условие

По одну сторону от незаряженной металлической плоскости на расстоянии h от нее находятся два одинаковых заряда Q . Определите силу, действующую на каждый из зарядов, если расстояние между ними 2h . (6.3.28)

Решение

1.png

Поставим заряды изображения и найдём силы, действующие на заряд Q :

F_1 = \frac{kQ^2}{4h^2} = F_3, \quad F_2=\frac{kQ^2}{(\sqrt{2} h \cdot 2)^2} = \frac{kQ^2}{8h^2}. Поскольку результирующая сил F_1 и F_3 будет перпендикулярна F_2 , то полную силу, действующую на заряд Q , можно найти через теорему Пифагора:

F=\sqrt{(\sqrt{2}F_1)^2 + F_2^2} = \frac{3kQ^2}{8h^2}. Но поле во области равно нулю.

№ 3

Условие

Две бесконечные проводящие плоскости, пересекаясь под прямым углом, делят пространство на четыре области. В области находится заряд q на одинаковом расстоянии l от обеих плоскостей. Какая сила действует на заряд q ? Есть ли электрическое поле в областях - 2-4. (6.3.30)

2.png

Решение

3.png

Поставим заряды изображения и найдём результирующую всех сил:

\begin{aligned}

&F_{\Sigma} = \sqrt{2}F - F_3 \quad \Rightarrow \\

&\Rightarrow \quad F_{\Sigma} = \sqrt{2} \frac{kq^2}{4l^2} - \frac{kq^2}{8l^2} = \frac{kq^2}{8l^2} (2\sqrt{2} - 1),

\end{aligned} сила направлена по диагонали к центру.

В действительности напряжённость электрического поля в областях - 2-4 равно нулю.

№ 4

Условие

Точечные заряды q_{1} до q_{2} находятся на расстояниях d_{1} до d_{2} от бесконечной металлической плоскости. Какая сила действует на каждый из зарядов со стороны плоскости?

Решение

4.png

Заряды q_1 и q_2 не влияют друг на друга в следствии экранирования. Каждый "перераспределяет" поверхностную плотность заряда со своей стороны, следовательно, каждый взаимодействует как будто только со своим изображением. Тогда силы, действующие со стороны плоскости на заряды будут:

F_1 = \frac{kq_1^2}{4d_1^2} \quad и \quad F_2 = \frac{kq_2^2}{4d_2^2}.

№ 5

Условие

Точечный заряд q находится на расстоянии a от металлических плоскостей, образующих двугранный угол 60^{\circ} . Какая сила действует на этот заряд?

5.png

Решение

6.png

Сила будет направлена к точке O . Поставим заряды изображения и выразим результирующую силу, действующую на данный заряд, через остальные:

F = 2F_1 \cdot \cos 60^{\circ} + F_3 - 2F_2 \cdot \cos 30^{\circ}. Затем найдём каждую из сил, действующих на заряд q , а затем и результирующую:

\left.

\begin{aligned}

&F_1 = \frac{kq^2}{4a^2} \\

&F_2 = \frac{kq^2}{12a^2} \\

&F_3 = \frac{kq^2}{16a^2}

\end{aligned} \right\} \quad \Rightarrow \quad

F= \frac{kq^2}{4a^2} + \frac{kq^2}{16a^2} - \frac{kq^2}{12a^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{kq^2}{48a^2}(15-4\sqrt{3}).