Метод изображений.: Электростатика

№ 6

Условие

Найти силу притяжения между точечным электрическим диполем и бесконечной металлической пластинкой, если дипольный момент p перпендикулярен к плоскостям пластинки, а расстояние до поверхности пластинки равно d . Определить также работу, которую надо совершить, чтобы удалить диполь от пластинки с расстояния d_{1} до d_{2} .

Решение

7.png

Дипольный момент:

\vec{p} = q \cdot \vec{l}. Поставим диполь изображение и обозначим силу, действующую на диполь:

\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}, где \vec{F_1} и \vec{F_2} - силы, соответственно действующие на заряды -q и +q .

8.png

Тогда:

\begin{aligned}

&F=kq^2 \times \\

&\times \left( \frac{1}{(sd+l)^2} + \frac{1}{(2d-l)^2} - \frac{1}{(2d)^2} - \frac{1}{(2d)^2} \right) = \\

& \\

&= \frac{kq^2}{2d^2} \cdot \frac{12l^2d^2 - l^4}{(4d^2-l^2)^2}.

\end{aligned} При l<<d :

F = \frac{3kq^2l^2}{8d^4}. Также можно проще найти силу через поле диполя (верхний диполь находится в поле нижнего).

9.png

E_r = \frac{k \cdot 2p}{r^3} \cos \theta, \quad E_{\theta} = \frac{kp}{r^3} \sin \theta, \quad U = - (\vec{E}, \vec{p}). Так как полепод плоскость равно нулю, то W=\frac{1}{2}W_{4-х} , где W_{4-х} :

\begin{aligned}

&W_{4-х} = kq^2 \left( \frac{1}{2d} + \frac{1}{2d} - \frac{1}{2d+l} - \frac{1}{2d-l} \right) = -\frac{kq^2l^2}{d(4d^2-l^2)} \approx -\frac{kp^2}{4d^3} \quad \Rightarrow \\

&\Rightarrow \quad W = -\frac{kp^2}{8d^3}.

\end{aligned} Работу найдём, как изменение энергии взаимодействия:

A = W_2 - W_1 = -\frac{kp^2}{8} \left( \frac{1}{d_2^3} - \frac{1}{d_1^3} \right) = \frac{kp^2}{8} \left( \frac{1}{d_1^3} - \frac{1}{d_2^3} \right). Работа получилась отрицательная, так как диполь притягивается к пластине.

№ 7

Условие

Чему равен заряд, индуцируемый на поверхности заземленного металлического шара точечным зарядом q , расположенным на расстоянии L от центра шара? Радиус шара R<L . (6.3.32)

10.png

Решение

11.png

Найдём заряд изображения Q и расстояние x до центра сферы. Потенциал точки A равен нулю для всех точек A сферы:

\varphi_A = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{kQ}{r_2} + \frac{kq}{r_1} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{r_1}{r_2} = -\frac{Q}{q}. Возьмём точки C и D . Их потенциалы также равны нулю:

\varphi_C = \varphi_D = 0 \quad \Rightarrow \quad

\begin{cases}

\begin{aligned}

&\frac{kq}{L-R} + \frac{kQ}{R-x} = 0 \\

&\frac{kq}{L+R} + \frac{kQ}{R+x} = 0

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad

\begin{cases}

\begin{aligned}

&Q = - \frac{R-x}{L-R} q \\

&q\frac{R+x}{L+R} = q \frac{R-x}{L-R}

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad

x = \frac{R^2}{L}. Теперь найдём Q :

Q = -q \frac{R}{L} \quad \Rightarrow \quad \frac{r_1}{r_2} = -\frac{Q}{q} = \frac{R}{L} \quad \Rightarrow \quad \frac{r_1}{r_2} = \frac{x}{R}, а поскольку

\frac{x}{R} = \frac{R}{L}, то \triangle OBA \propto \triangle OAK , следовательно, потенциал точки A равен нулю, если потенциалы точек C и D также равны нулю при Q и x , найденых раньше. Тогда потенциал всех точек поверхности сферы равен нулю. В действительности заряд Q распределён по поверхности сферы, а x - сопряжённая точка, в математике инверсия.

№ 8

Условие

Точечный заряд q находится на расстоянии L от центра изолированного металлического шара радиуса R<L . Полный заряд шара равен нулю. Чему равен потенциал шара? (6.3.31)

Решение

12.png

Постоянность потенциала сферы даст следующую картину:

13.png

Q = -q\frac{R}{L}, \quad x = \frac{R^2}{L}, а поскольку

\sum q_{сф} = 0 \quad \Rightarrow \quad Q + q_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad q_1 = -Q. При таком положении зарядов изображений незаряженная сфера будет притягиваться к заряду q . Так как сумма потенциалов от Q и q даёт \varphi = 0 на поверхности.

\varphi = \frac{kq_1}{R} = \frac{kq\frac{R}{L}}{R} = \frac{kq}{L}.