Движение заряженных частиц в электрическом поле. Проводники. Свойства проводников. Электростатическая индукция. Поиск индуцированных зарядов

Движение заряженных частиц в электрическом поле. Видео

Движение заряженных частиц в электрическом поле

Зная напряженность электрического поля \vec{E} и потенциал поля \varphi в некоторой точке пространства, можно определить электрическую силу, действующую на частицу зарядом q, \vec{F}=q \vec{E} и ее потенциальную энергию U=q \varphi . Если мы хотим исследовать движение этой частицы, мы можем записать для нее уравнение движения: \vec{a}=\frac{\vec{F}}{m^{\prime}} где m -её масса, а \vec{a} -ускорение. Также, если в задаче есть только электростатические силы, можно записать закон сохранения энергии:

U+\frac{m v^{2}}{2}= \text{const}.

Пример 1

Условие

Два маленьких заряженных шарика зарядами -4 q и +q (q>0) закреплены на расстоянии r друг от друга. На прямой, соединяющей шарики, далеко от них (на бесконечности) находится электрон с зарядом -e ( e - элементарный заряд) и массой m . Какой минимальной скоростью должен обладать электрон, чтобы долететь до шарика +q ?

Решение

Исследуем движение электрона. Сила, действующая на электрон:

\vec{F} = -e \cdot \vec{E}.

Отсюда, в частности, следует, что сила противоположено направлена вектору напряжённости. Выясним, куда направлен вектор напряжённости. Заметим, что вектор напряженности \vec{E}_1 от заряда -4q направлен к этому же заряду. Вектор напряженности \vec{E}_2 от заряда +q направлен от заряда +q (вправо). Там, где \vec{E}_1+\vec{E}_2=0 , находится особая точка (в ней сила меняет направление). Таким образом, до особой точки электрон замедляется, а сразу после прохождения особой точки - ускоряется.

Найдем положение этой особой точки. Пусть расстояние от q до особой точки равно x . Модули напряжённостей от зарядов -4q и +q равны

E_1 = k\frac{4q}{\left( r+x \right)^2}, \quad E_2 = \frac{kq}{x^2}.

Решим уравнение E_1=E_2 :

\frac{4}{\left( r+x \right) ^2} = \frac{1}{x^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{r+x}=\frac{1}{x}.

Отсюда получаем x=r . Запишем закон сохранения энергии для электрона:

\frac{m v_{0}^{2}}{2}+0=-e \varphi_0.

Используем принцип суперпозиции для расчёта потенциала:

\varphi_0 = \frac{k \left( -4q \right) }{2r} + \frac{kq}{r}\quad \Rightarrow \quad \varphi_0 = \frac{-kq}{r}.

Таким образом, закон сохранения энергии приобретает вид

\frac{mv_0^2}{2} = \frac{ekq}{r}.

Отсюда находим

v_{0}=\sqrt{\frac{2 k q e}{m r}}.

Ответ v_{0}=\sqrt{\frac{2 k q e}{m r}}.