Энергия заряженного проводника. Энергия проводящего шара. Энергия конденсатора. Количество теплоты, выделяемое в цепи при зарядке конденсатора. Плотность энергии электрического поля. Давление электростатического поля

Энергия заряженного проводника. Видео

Энергия заряженного проводника

Для того чтобы зарядить любое уединенное тело, нужно совершить работу. Она совершается против сил электростатического отталкивания, которые действуют между одноименными зарядами, накапливающимися на теле. Эта работа пойдёт на увеличение энергии проводника. Будем считать, что энергия незаряженного проводника равна нулю.

Мы будем заряжать проводник ёмкости C , перенося заряда из бесконечности малыми порциями \Delta q , пока заряд на проводнике не станет равен q . Пусть в некоторый момент времени на проводнике накопился заряд q^{\prime} . В этот момент потенциал проводника \varphi^{\prime}=\frac{q^{\prime}}{c} . Работа, которую мы совершим по переносу порции \Delta q в этот момент \Delta A=\left(\varphi^{\prime}-0\right) \Delta q=\frac{q^{\prime}}{C} \Delta q . Просуммируем все такие работы, получим суммарную работу, а значит, и энергию проводника, когда его заряд q .

Построим график зависимости текущего потенциала \varphi' от заряда, который в данный момент располагается на проводнике:

Просуммировав все \Delta A (то есть найдя площадь под графиком), мы найдем общую работу

A=\sum \Delta A = \frac{1}{2}\frac{q}{C} \cdot q = \frac{q^2}{2C}.

Таким образом, энергия заряженного проводника

W = \frac{q^2}{2C}.

Энергия проводящего шара

Пример 1

Условие

Определите энергию проводящего шара радиуса \mathrm{R} , имеющего заряд q .

Решение

Сперва найдем емкость по формуле

C=\frac{q}{\varphi}=\frac{q}{\frac{k q}{R}}=4 \pi \varepsilon_{0} R.

и подставим полученное выражение в формулу для энергии:

W=\frac{q^{2}}{2 C} \quad \Rightarrow \quad W=\frac{q^{2}}{8 \pi \varepsilon R}.

Ответ W=\frac{q^{2}}{8 \pi \varepsilon R}.

Энергия конденсатора

Выведем формулу для энергии конденсатора ёмкостью C , заряженного зарядом q . Это можно сделать аналогично тому, что мы делали, находя энергию уединенного проводника. Пусть изначально конденсатор ёмкостью C не заряжен. Будем переносить малыми порциями \Delta q заряд с одной обкладки на другую. Работа по переносу заряда и будет равна конечной энергии конденсатора, когда он таким образом зарядится до заряда q . Пусть в некоторый момент заряд конденсатора q^{\prime} , а его напряжение U^{\prime}=\frac{q^{\prime}}{C} . Работа при переносе малой порции заряда равна \Delta A=U^{\prime} \Delta q

получить общую работу, просуммируем все работы \Delta A по переносу порции заряда:

W=A=\sum \Delta A = \frac{1}{2}\frac{q}{C}Q=\frac{q^2}{2C}.

Или без графика, но интегрированием

A=\int\limits_0^qU^{\prime}\text{d}q^{\prime}=\int\limits_0^q \frac{q^{\prime}}{C}\text{d}q^{\prime}=\left.\frac{1}{C}\frac{q^{\prime 2}}{2}\right|_0^q=\frac{q^2}{2C}.

Этот способ нахождения энергии подходит для произвольного конденсатора.

Можно также предложить в качестве примера другой способ, который подходит только для плоского конденсатора. Раздвигая разноименно заряженные пластины конденсатора, мы совершаем положительную работу, так как пластины притягиваются друг к другу. При этом энергия конденсатора увеличивается на величину, равную совершенной нами работе. Нам достаточно равномерно двигать пластину, значит, мы должны прикладывать силу, равную силе притяжения обкладок конденсатора: F=Eq=\frac{q^{2}}{2 S \varepsilon_{0}} , где S - площадь обкладок. Пусть, когда пластины конденсатора находятся очень близко друг к другу, энергия равна нулю. Тогда энергия в тот момент, когда расстояние между обкладками d , равна

W=A=F d=\frac{q^{2}}{2 S \varepsilon_{0}} d=\frac{q^{2}}{2 C}.

Энергию конденсатора также можно выразить через ёмкость C и напряжение U , а также через заряд q и напряжение U :

W=\frac{C U^{2}}{2}=\frac{q U}{2}.

Количество теплоты, выделяемое в цепи при зарядке конденсатора

Пример 2

Условие

Какое количество теплоты выделится, если изначально незаряженный конденсатор ёмкостью C зарядить от источника питания напряжением U ?

Решение

После зарядки конденсатора, разность потенциалов между его обкладками будет равна напряжению источника U , после ток в цепи будет отсутствовать, поскольку разность потенциалов между источником и конденсатором нулевая. Тогда работа источника по перемещению заряда:

A_{\text{ист}}=Uq=U(CU)=CU^2.

С другой стороны энергия конденсатора:

\Delta W=\frac{CU^2}{2}.

Из закона сохранения энергии:

A_{\text{ист}}=\Delta W + Q.

Тогда

Q=CU^2-\frac{CU^2}{2}=\frac{CU^2}{2}.

Ответ Q=\frac{CU^2}{2}.