Давление электрического поля. Плотность энергии. Энергия электрического поля.: Электростатика

№ 1

Условие

a) С какой силой притягиваются друг к другу две параллельные разноименно заряженные плоскости? Поверхностная плотность заряда плоскостей \pm \sigma . Площадь каждой плоскости S , расстояние между ними много меньше размеров плоскостей. Чему равна сила, действующая на единицу площади поверхности плоскости (электрическое давление)?

б) Напряженность электрического поля между параллельными плоскостями равна нулю, вне плоскостей равна E . Определите поверхностную плотность заряда на плоскостях. Чему равно электрическое давление.

в) Напряженность поля между параллельными плоскостями равна 10^{4} В/см, вне плоскостей равна нулю. Определите электрическое давление на каждую плоскость и поверхностную плотность заряда. (6.5.1)

Решение

а) Сила, с которой притягиваются пластины:

F = \sum E_1 \Delta q_i = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \sigma S = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0} \cdot S. Тогда давление электрического поля:

p = \frac{F}{S} = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}. 1.png

б) Из принципа суперпозиции:

\begin{cases}

\begin{aligned}

&\frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0} = E \\

&\frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2\varepsilon_0}=0

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \sigma = \sigma_1 = \sigma_2 = E\varepsilon_0. Электрическое давление:

p = \frac{F}{S} = \frac{\frac{E}{2}q}{S} = \frac{E\sigma S}{2S} = \frac{\varepsilon_0E^2}{2}. 2.png

в) Из принципа суперпозиции:

E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad \sigma = \varepsilon_0 E = 8,85 мкКл. Давление электрического поля из предыдущих пунктов:

p = \frac{\varepsilon_0E^2}{2} \approx 4,425 Па. 3.png

№ 2

Условие

Два проводящих поршня площади S , расположенные в трубе из диэлектрика, образуют плоский конденсатор, заполненный воздухом при атмосферном давлении P_{0} . Во сколько раз изменится расстояние между поршнями, если их зарядить разноименными зарядами? Система хорошо проводит тепло, трение отсутствует. (6.5.2)

4.png

Решение

В следствии того, что поршни зарядили разноимёнными зарядами \pm Q , давление увеличилось за счёт их силы взаимодействия на величину:

\Delta p = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0} = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0S}. Поскольку процесс является изотермическим, то можем воспользоваться законом Бойля - Мариотта:

p_0d_0S = (p_0 + \Delta p) dS \quad \Rightarrow \quad \frac{d_0}{d} = \frac{1}{1+\frac{Q^2}{2p_0\varepsilon_0S^2}}. 5.png

№ 3

Условие

Чему равна поверхностная плотность заряда и электрическое давление на границе раздела двух полей напряженности E и 2 E ? E и -2 E ? (6.5.3)

Решение

а) Суперпозиция внешнего поля и поля пластины:

6.png

\begin{cases}

\begin{aligned}

&E_{вн} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}= E \\

&E_{вн} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=2E

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad

\begin{cases}

\begin{aligned}

&E_{вн} = \frac{3}{2} E \\

&\sigma = \varepsilon_0E

\end{aligned}

\end{cases}, также поверхностную плотность заряда можно найти из теоремы Гаусса.

Тогда электрическое давление:

p = \frac{E_{вн} \cdot \sigma S}{S} = \frac{3}{2} \varepsilon_0E^2. б) Аналогично предыдущему пункту суперпозиция внешнего поля и поля пластины:

7.png

\begin{cases}

\begin{aligned}

&E_{вн} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = E \\

&E_{вн} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = -2E

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad

\begin{cases}

\begin{aligned}

&E_{вн} = -\frac{1}{2}E \\

&\sigma = -3\varepsilon_0E

\end{aligned}

\end{cases}. Тогда давление электрического поля на разделе двух полей:

p = \frac{E_{вн}\sigma S}{S} = \frac{3}{2}\varepsilon_0E^2. Давление не изменилось.

8.png

№ 4

Условие

Определите силу, действующую на единицу площади поверхности равномерно заряженной сферы радиуса R , если ее заряд Q . (6.5.5)

Решение

Полу снаружи вблизи и внутри сферы соответственно будут:

E = \begin{cases}

\begin{aligned}

&\frac{kQ}{R^2} \\

&E = 0

\end{aligned}

\end{cases}. Рассмотрим малую часть сферы, зарядом \Delta q . Поле вблизи него складывается из поля отс него самого и поля от остальной сферы:

\begin{cases}

\begin{aligned}

&E_{с} + E_{вн} = E \\

&E_{вн} - E_{с} = 0

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad

E_{с} = E_{вн} = \frac{E}{2}. Тогда сила, действующая на малую часть, будет:

9.png

F = \Delta q E_{вн} = \sigma \Delta S \cdot \frac{kQ}{2R^2}, где \sigma = \frac{Q}{4\pi R^2} .

Тогда давление на сферу:

p = \frac{F}{\Delta S} = \frac{kQ^2}{8\pi R^4} = \frac{Q^2}{32\pi^2 \varepsilon_0 R^4}. Можно было решить данную задачу через теорему Гаусса и суперпозицию полей, а можно через давление электрического поля:

10.png

\begin{cases}

\begin{aligned}

&p_1 = 0 \\

&p_2 = \frac{\varepsilon_0E^2}{2} = \frac{Q^2}{8 \pi^2 \varepsilon_0 R^4}

\end{aligned}

\end{cases}, где p_1 - давление внутри сферы, а p_2 - снаружи.

Сила пытается растянуть заряженную сферу!

№ 5

Условие

Найдите электрическое давление на внутреннюю поверхность сферического конденсатора, заряженного до разности потенциалов V . Радиус внешней обкладки конденсатора R , радиус внутренней r . (6.5.6)

Решение

11.png

Найдём заряд данного конденсатора:

\begin{cases}

\begin{aligned}

&C = \frac{1}{k} \frac{Rr}{R-r} \\

&V = \frac{Q}{C}

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad

Q = 4\pi \varepsilon_0 \frac{Rr}{R-r}V. Напряжённость поля внутри конденсатора:

E_r = \frac{kQ^2}{r^2} = \frac{RV}{r(R-r)}. Тогда давление на внутреннюю поверхность сферического конденсатора:

p = \frac{\varepsilon_0E^2_r}{2} = \frac{\varepsilon_0 R^2V^3}{2r^2(R-r)^2}. Или как в предыдущих случаях:

\begin{cases}

\begin{aligned}

&E_{с} + E_{вн} = E_r \\

&E_{вн} - E_{с} = 0

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad

E_{с} = E_{вн} = \frac{E_r}{2} \quad \Rightarrow \quad p = \frac{F}{\Delta S} = \frac{\Delta q E_r}{2\Delta S}, где \Delta q = \frac{Q}{4\pi r^2}\Delta S .