Давление электрического поля. Плотность энергии. Энергия электрического поля.: Электростатика

№ 6

Условие

Какой заряд можно разместить на единице длины длинной цилиндрической оболочки радиуса R , если при накачивании ее газом она выдерживает давление P ? (6.5.7)

Решение

12.png

Поле снаружи вблизи цилиндра и внутри соответственно равны:

\begin{cases}

\begin{aligned}

&E_R = \frac{Q}{S\varepsilon_0} \\

&0

\end{aligned}

\end{cases} Тогда давление электрического поля на стенки цилиндра:

P = \frac{F}{S} = \frac{\varepsilon_0 E_R^2}{2} = \frac{\varepsilon_0Q^2}{2S^2\varepsilon_0} = \frac{\varepsilon_0 Q^2}{8\pi^2 R^2 l^2 \varepsilon_0}, где S = 2\pi Rl .

Найдём заряд на единицу длины:

\frac{\Delta q}{\Delta l} = \frac{Q}{l} \quad \Rightarrow \quad \frac{Q}{l} = 2\pi R \sqrt{2P\varepsilon_0}. № 7

Условие

Определите энергию поля равномерно заряженной сферы радиуса R . Заряд сферы Q . (6.5.15)

Решение

13.png

Напряжённость поля сферы в зависимости от расстояния до центра:

E=\begin{cases}

\begin{aligned}

&0, \quad x<R \\

&\frac{kQ}{x^2}, \quad x>R

\end{aligned}

\end{cases}. Плотность энергии:

w = \frac{\varepsilon_0E^2}{2}. Тогда энергия поля равномерно заряженной сферы:

W = \int\limits_V w(V) dV = \int\limits_0^R 0\cdot dV + \int\limits_R^{\infty} \frac{\varepsilon_0E^2(x)}{2} 4\pi x^2 dx = \frac{4\pi\varepsilon_0 k^2 Q^2}{2} \int\limits_R^{\infty} \frac{1}{x^4} x^2 dx = \frac{kQ^2}{2R}, где dV = 4\pi x^2 dx - объём сферического слоя.

№ 8

Условие

Определите энергию поля равномерно заряженного шара радиуса R . Полный заряд шара Q . (6.5.18)

Решение

14.png

Напряжённость поля сферы в зависимости от расстояния до центра:

E=\begin{cases}

\begin{aligned}

&kQ\frac{x}{R^3}, \quad x \leq R \\

&\frac{kQ}{x^2}, \quad x \geq R

\end{aligned}

\end{cases}. Теперь найдём энергию поля равномерно заряженного шара:

W = \int\limits_0^{\infty} \frac{\varepsilon_0E^2}{2} dV = \int\limits_0^R \frac{k^2Q^2x^2}{2R^6} \cdot 4\pi \varepsilon_0 x^2 dx + \int\limits_R^{\infty}\frac{k^2Q^2}{2x^4} \cdot 4\pi\varepsilon_0 x^2 dx. Второй интеграл мы вычислили в предыдущей задачи:

\int\limits_R^{\infty}\frac{k^2Q^2}{2x^4} \cdot 4\pi\varepsilon_0 x^2 dx = \frac{kQ^2}{2R}. Первый же интеграл вычисляется следующим образом:

\frac{kQ^2}{2R^6} \int\limits_0^R x^4 dx = \frac{kQ^2}{10R}. Тогда энергия будет:

W = \frac{3kQ^2}{5R} = \frac{3Q^2}{20 \pi \varepsilon_0 R}. № 9

Условие

Какую работу против электрических сил нужно совершить, чтобы уменьшить в два раза радиус заряженной сферы? Первоначальный радиус сферы R , а её заряд Q. (6.5.19)

Решение

15.png

Энергия заряженной сферы:

W_{сф} = \frac{kQ^2}{2R}. Работу будем считать как изменение потенциальной энергии сферы:

\begin{aligned}

&A = W_2 - W_1 = \frac{kQ^2}{2} \left( \frac{1}{R/2} - \frac{1}{R} \right) = \\

&= \frac{kQ^2}{2R} = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}.

\end{aligned} № 10

Условие

Какую минимальную работу против сил электрического поля нужно совершить, чтобы собрать каплю ртути радиуса R с зарядом Q из N одинаковых заряженных капель? (6.5.20)

Решение

16.png

Из закона сохранения заряда:

q = \frac{Q}{N}, где q - заряд одной капли.

Радиус одной капли:

\frac{4}{3} \pi R^3 = N \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \quad \Rightarrow \quad r = \frac{R}{N^{1/3}}. Тогда работа будет:

A = \Delta W = \frac{kQ^2}{2R} \left( 1 - \frac{\frac{1}{N^2}\cdot N}{\frac{1}{N^{1/3}}} \right) = \frac{kQ^2}{2R} \left( 1 - N^{-2/3} \right) .