Диэлектрики: Часть 1

Видео

Конспект

Диэлектрики

Условие

Две заряженные параллельные плоскости с поверхностной плотностью заряда \pm \sigma разнесены на расстояние d друг от друга и разделены прокладкой толщины h , диэлектрическая проницаемость которой \varepsilon . Найдите поверхностную плотность индуцированного поляризационного заряда на прокладке, напряженность поля в пространстве между пластинами и разность потенциалов между ними.

Решение

1s Пусть поляризационный заряд на поверхности диэлектрика \pm \sigma , тогда поле в диэлектрике:

E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}, \quad E' = \frac{E}{\varepsilon} = \frac{\sigma}{\varepsilon \varepsilon_0}. По принципу суперпозиции:

E' = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} - \frac{\sigma_1}{\varepsilon_0} = \frac{E}{\varepsilon} = \frac{\sigma}{\varepsilon \varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad \sigma_1 = \frac{\sigma (\varepsilon - 1)}{\varepsilon}. Напряжение на обкладках системы:

U = \frac{\sigma}{\varepsilon \varepsilon_0} h + \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (d-h) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}(d-h-\frac{h}{\varepsilon}). Можно найти \sigma_1 и по т. Гаусса (нижнее основание цилиндра в диэлектрике, верхнее в зазоре):

\frac{-\sigma_1 \cdot S}{\varepsilon_0} = \frac{E}{\varepsilon}S - E \cdot S \quad \Rightarrow \quad \sigma_1 = \frac{\sigma(\varepsilon-1)}{\varepsilon}. Можно было знак на верхней границе не угадывать, он бы получился автоматически.

Ответ \sigma_1 = \frac{\sigma(\varepsilon-1)}{\varepsilon} ; U=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}(d-h-\frac{h}{\varepsilon}) .

Условие

Во сколько раз изменится емкость конденсатора, если пространство между его обкладками заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \varepsilon ?

Решение

Поле в диэлектрике в \varepsilon раз меньше:

\begin{gathered}

C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}, \quad U = E \cdot d, \quad E = \frac{Q}{\varepsilon_0 S} \cdot \frac{1}{\varepsilon} \quad \Rightarrow \\

\quad \Rightarrow C = \frac{Q}{U} = \frac{Q}{Qd/S\varepsilon_0\varepsilon} = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d} = \varepsilon C_0.

\end{gathered} Ёмкость увеличилась в \varepsilon раз.

Ответ в \varepsilon раз.

Условие

Конденсатор емкости C присоединен к источнику тока, который поддерживает на обкладках конденсатора разность потенциалов V . Какой заряд пройдет через источник при заполнении пространства между пластинами жидкостью с диэлектрической проницаемостью \varepsilon ?

Решение

3s Заряд в первом и во втором случаях соответственно будут:

Q_0=CV, \quad Q=\varepsilon CV \quad \Rightarrow \quad \Delta q = Q-Q_0 = (\varepsilon - 1) CV. Ответ \Delta q = (\varepsilon - 1) CV.

Условие

Два одинаковых конденсатора заполнены жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \varepsilon . Конденсаторы соединены друг с другом параллельно и заряжены до разности потенциалов V . Как изменится разность потенциалов, если из одного конденсатора вытечет диэлектрик? Как изменится разность потенциалов в батарее из n одинаковых параллельно соединенных конденсаторов, заряженной до разности потенциалов V , если из одного конденсатора вытечет диэлектрик?

Решение

4s 1 случай

2 конденсатора сохранят заряд. То есть q=2q_0 в обоих случаях. Тогда:

V=\frac{q_0}{\varepsilon C} \quad \Rightarrow \quad q=C_0V=2\varepsilon C V. При параллельном соединении ёмкости складываются:

C_1=\varepsilon C + C = C(\varepsilon + 1). Общее напряжение:

V_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{2\varepsilon V}{\varepsilon + 1}. Тогда разность потенциалов между вторым и первым случаями будет:

\Delta V = V_1 - V = V\left(\frac{2\varepsilon}{\varepsilon+1} - 1\right) = V\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon+1}. 2 случай

n одинаковых конденсаторов. В начале:

C_0 = n\varepsilon C, \quad q = n\varepsilon C V, где C - ёмкость конденсатора без диэлектрика.

После вытекания диэлектрика из 1-ого конденсатора:

C_1=(n-1)\varepsilon C + C, \quad V_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{n\varepsilon V}{(n-1)\varepsilon + 1}, тогда:

\Delta V = V_1 - V = V \left( \frac{n\varepsilon}{(n-1)\varepsilon + 1} - 1 \right) = V\frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon (n-1) + 1}. Ответ 1. \Delta V =V\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon+1} ; 2. \Delta V =V\frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon (n-1) + 1} .

Условие

Батарея из n одинаковых последовательно соединенных одинаковых конденсаторов заряжена до разности потенциалов V . Конденсаторы заполнены жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \varepsilon . Как изменится разность потенциалов, если из k конденсаторов вытечет диэлектрик? Конденсаторы отсоединены от источника тока.

Решение

5s \begin{aligned}

&ёмкость одного конденсатора \\

& C=\varepsilon C_0 , где C_0 - ёмкость \\

& одного конденсатора без диэлектрика \\

&\frac{1}{C_1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{C_i} = \frac{n}{C} \\

& - для последовательного соединения \\

& \frac{1}{C_1} = \frac{n}{\varepsilon C_0} \quad \Rightarrow \quad C_1 = \frac{\varepsilon C_0}{n} \\

&V=\frac{q}{C_1} \quad \Rightarrow \quad q = C_1 V

\end{aligned}

\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad

\begin{aligned}

& \frac{1}{C_2} = \frac{n-k}{C} + \frac{k}{C_0} \\

& \frac{1}{C_2} = \frac{n-k}{\varepsilon C_0} + \frac{k}{C_0} \\

& V_2 = \frac{q}{C_2} = \frac{\varepsilon C_0 V}{n}\left( \frac{n-k}{\varepsilon C_0} + \frac{k}{C_0} \right) \\

&V_2 = V\left( \frac{n-k}{n} + \frac{k\varepsilon}{n} \right)

\end{aligned} Найдём, на сколько изменится напряжение:

\Delta V = V_2 - V = V \left( \frac{n-k}{n} + \frac{k\varepsilon}{n} - 1\right) = V\frac{k}{n}(\varepsilon - 1). Ответ \Delta V =V\frac{k}{n}(\varepsilon - 1).

Условие

Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено наполовину диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \varepsilon_{1} и наполовину диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \varepsilon_{2} . Найдите емкость такого конденсатора. Площадь каждой обкладки S , расстояние между ними d .

Решение

6s Параллельное соединение конденсаторов:

C=C_1 + C_2, где C_1 = \frac{\varepsilon_1\varepsilon_0S}{2d} , C_2=\frac{\varepsilon_2\varepsilon_0S}{2d} . Тогда:

C=\frac{\varepsilon_0S}{2d}(\varepsilon_1+\varepsilon_2). Ответ C=\frac{\varepsilon_0S}{2d}(\varepsilon_1+\varepsilon_2).

Условие

Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено двумя слоями разных диэлектриков толщины d_{1} и d_{2} . Диэлектрической проницаемость диэлектриков \varepsilon_{1} и \varepsilon_{2} . Площадь обкладок S . Найдите емкость конденсатора. Какой заряд будет индуцироваться на границе раздела диэлектриков, если на пластинах разместить заряд \pm q ?

Решение

При последовательном соединении конденсаторов:

\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \quad \Rightarrow \quad C = \frac{\frac{\varepsilon_1\varepsilon_0S}{d_1} \cdot \frac{\varepsilon_2\varepsilon_0S}{d_2}}{\varepsilon_0S\left( \frac{\varepsilon_1}{d_1} + \frac{\varepsilon_2}{d_2}\right)} = \varepsilon_0S\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{\varepsilon_1d_2+\varepsilon_2d_1}. Q на границе можно найти двумя способами, ч/з принцип суперпозиции, или по т. Гаусса:

7s \begin{aligned}

& E_1 = \frac{q}{S\varepsilon_0\varepsilon_1}, \quad E_2=\frac{q}{S\varepsilon_0\varepsilon_2} \quad \Rightarrow \quad E_2S'-E_1S' = \frac{Q}{S} \cdot \frac{1}{\varepsilon_0} \cdot S' \quad \Rightarrow \\

&\Rightarrow \quad Q = \varepsilon_0S\left(\frac{q}{S\varepsilon_0\varepsilon_2} - \frac{q}{S\varepsilon_0\varepsilon_1}\right) = q\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1\varepsilon_2}.

\end{aligned} Ответ Q=q\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1\varepsilon_2}.

Условие

В плоский конденсатор с площадью обкладок S_{1} и расстоянием между ними d_{1} помещена диэлектрическая пластинка площади S_{2} и толщины d_{2} . Диэлектрическая проницаемость пластинки \varepsilon . Найдите емкость конденсатора.

Решение

Эквивалентная схема

8s C = \frac{\varepsilon_0(S_1-S_2)}{d_1} + \frac{\varepsilon_0S_2 \cdot \varepsilon\varepsilon_0S_2}{(d_1-d_2)d_2\left(\frac{\varepsilon_0S_2}{d_1-d_2}+\frac{\varepsilon\varepsilon_0S_2}{d_2}\right)} = \varepsilon_0\left(\frac{S_1-S_2}{d_1}+\frac{\varepsilon S_2}{d_2+(d_1-d_2)\varepsilon}\right). Ответ C=\varepsilon_0\left(\frac{S_1-S_2}{d_1}+\frac{\varepsilon S_2}{d_2+(d_1-d_2)\varepsilon}\right) .