Диэлектрики: Часть 2

Видео

Конспект

Условие

На обкладках плоского конденсатора размещены заряды \pm q . Зазор между обкладками заполнен веществом, диэлектрическая проницаемость которого изменяется в перпендикулярном к обкладкам направлении по закону \varepsilon=\varepsilon_{1}(1+x / d)^{-1} , где x - расстояние до положительной пластины, d - расстояние между пластинами. Найдите объемную плотность заряда как функцию x . Площадь пластин S .

Решение

9s Применим т. Гаусса для тонкого слоя толщины \Delta x :

E(x+\Delta x)S - E(x)S=\frac{1}{\varepsilon_0}\rho (x) \cdot \Delta x S \quad \Rightarrow \quad \rho (x) = \underbrace{\varepsilon_0 \frac{E(x+\Delta x)-E(x)}{\Delta x}}_{производная по определению} = \varepsilon_0 \frac{dE}{dx}. \quad (1) По условию: \varepsilon = \varepsilon_1\left(1+\frac{x}{d}\right)^{-1}, \quad E=\frac{1}{\varepsilon}\frac{q}{\varepsilon_0S} \quad \Rightarrow \quad E=\frac{q}{\varepsilon_0S} \cdot \frac{1}{\varepsilon_1} \left(1+\frac{x}{d}\right). \quad (2)

Из (1) и (2):

\frac{dE}{dx} = \frac{q}{\varepsilon_0S\varepsilon_1d} \quad \Rightarrow \quad \rho (x) = \frac{q}{S\varepsilon_1 d}, т.е. мы получили, при таком \varepsilon , \rho (x) постоянное!

Ответ \rho (x) = \frac{q}{S\varepsilon_1 d} .

Условие

С какой силой втягивается диэлектрическая пластина в плоский конденсатор с зарядом Q , когда она входит в пространство между обкладками на длину x ? Диэлектрическая проницаемость пластины \varepsilon , а толщина ее немного меньше расстояния между обкладками d . Размеры обкладок, как и пластины a\times b .

Решение

По определению: \vec{F} = -\vec{\nabla} W \quad \Rightarrow \quad F = - \frac{dW}{dx}. \quad (1)

10s C_1 = \varepsilon\varepsilon_0\frac{xb}{d}, \quad C_2 = \varepsilon_0\frac{(a-x)b}{d} \quad \Rightarrow \quad C=C_1+C_2 = \frac{\varepsilon_0b}{d}(a+x(\varepsilon-1)). Потенциальная энергия системы: W = \frac{Q^2}{2C} \quad \Rightarrow \quad W=\frac{Q^2d}{2\varepsilon_0b(a+x(\varepsilon-1))}. \quad (2)

Из (1) и (2):

F=- \frac{dW}{dx}=\frac{Q^2d(\varepsilon-1)}{2\varepsilon_0b(a+x(\varepsilon-1)^2)}. Ответ F = \frac{Q^2d(\varepsilon-1)}{2\varepsilon_0b(a+x(\varepsilon-1)^2)} .

Условие

В широкий сосуд с жидкостью ставится вертикально плоский конденсатор так, что нижняя часть пластин конденсатора погружается в жидкость. Конденсатор подключен к батарее, которая поддерживает на обкладках конденсатора разность потенциалов V . Расстояние между пластинами конденсатора d , плотность жидкости \rho , диэлектрическая проницаемость \varepsilon . Жидкость несжимаема. На какую высоту поднимется жидкость? Поверхностным натяжением пренебречь.

Решение

11s C_0 = \frac{S\varepsilon_0}{d} = \frac{\varepsilon_0 ab}{d}

\qquad \qquad \qquad \qquad

C = \frac{\varepsilon\varepsilon_0ha}{d} + \frac{\varepsilon_0(b-h)a}{h}

Воспользуемся ЗСЭ для системы, не забыв работу источника ( A_{ист}=\Delta q V ):

\underbrace{(C-C_0)V^2}_{\begin{gathered}

работа \\ источника

\end{gathered}}+\underbrace{\frac{C_0V^2}{2}}_{\begin{gathered}

начальная \ энергия \\ конденсатора

\end{gathered}}=\underbrace{\frac{CV^2}{2}}_{\begin{gathered}

конечная \ энергия \\ конденсатора

\end{gathered}}+\underbrace{\rho g(ha)d \cdot h}_{\begin{gathered}

изменение \ потенциальной \ энергии \\ части \ жидкости

\end{gathered}} \begin{gathered}

\Rightarrow \quad (C-C_0)\frac{V^2}{2} = \rho ghad\cdot h \quad \Rightarrow \quad \frac{V^2}{2}\frac{\varepsilon_0ha(\varepsilon-1)}{d}=\rho gh^2ad \quad \Rightarrow \\

\Rightarrow \quad h=\frac{\varepsilon_0(\varepsilon-1)V^2}{2d^2\rho g}.

\end{gathered} Ответ h = \frac{\varepsilon_0(\varepsilon-1)V^2}{2d^2\rho g} .

Условие

Конденсатор емкости C подключен к батарее. Какое количество теплоты выделится в конденсаторе, если его заполнить веществом с диэлектрической проницаемостью \varepsilon ? Батарее поддерживает на конденсаторе постоянную разность потенциалов V .

Решение

13s По ЗСЭ:

A_{ист} + W_0 = Q +W, где работа источника:

A_{ист} = \Delta q(V) = (q-q_0)V = C(\varepsilon - 1) V^2. Тогда:

Q = C(\varepsilon-1)V^2+\frac{CV^2}{2} - \frac{C\varepsilon V^2}{2} = \frac{C(\varepsilon - 1)V^2}{2}. Ответ Q = \frac{C(\varepsilon - 1)V^2}{2} .

Условие

Вдали от точечного заряда Q расположена диэлектрическая пластинка площади S , причем линейные размеры пластинки много меньше расстояния R между нею и зарядом. Плоскость пластинки перпендикулярна направлению на заряд. Толщина пластины \delta , диэлектрическая проницаемость \varepsilon . Найдите силу, с которой пластинка притягивается к заряду.

Решение

14s Поскольку заряд Q индуцирует на поверхности диэлектрика заряд q и R \gg \delta , то можем представить диэлектрическую пластину как плоский конденсатор. Тогда по принципу суперпозиции:

\frac{k}{\varepsilon}\frac{Q}{R^2} = k\frac{Q}{R^2} - \frac{q}{\varepsilon_0 S} \quad \Rightarrow \quad q = \frac{QS}{4\pi R^2} \left( 1-\frac{1}{\varepsilon}\right) = \frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}\frac{Q}{2\pi R^2} \cdot S. Поскольку R \gg линейных размеров диэлектрика, то его можно представить в виде диполя с дипольным моментом p = q\delta :

15s Поэтому сила, с которой пластинка притягивается к заряду, представима в виде силы взаимодействия диполя p и точечного заряда Q :

F = F_1-F_2 = \frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0}\left( \frac{1}{R^2} - \frac{1}{(R+\delta)^2}\right) = \frac{(\varepsilon-1)Q^2S}{(4\pi)^2\varepsilon_0\varepsilon R^2} \frac{2R\delta + \delta^2}{R^2(R+\delta)^2} \approx \frac{(\varepsilon-1)Q^2S\delta}{8\pi^2\varepsilon\varepsilon_0R^5}. Ответ F=\frac{(\varepsilon-1)Q^2S\delta}{8\pi^2\varepsilon\varepsilon_0R^5} .