Метод изображений.: Электростатика

№ 11

Условие

В точке A , расположенной на расстоянии r от центра O незаряженной проводящей сферы радиусом R , находится точечный заряд q_{B} . Сферу заземляют длинным тонким проводником. На сколько изменится (после заземления) потенциал точки B , являющейся вершиной равностороннего треугольника A B O ?

19.png

Решение

До заземления у реального заряда было два изображения в сфере. Первое изображение (заряд q_{1}=-\frac{q R}{r} , расположенный на расстоянии a=\frac{R^{2}}{r} от центра сферы) вместе с реальным зарядом обеспечивало равенство нулю потенциала на поверхности сферы. Второе изображение (заряд q_{2}=\frac{q R}{r} , расположенный в центре сферы) обеспечивало необходимое (отличное от нуля!) значение потенциала сферы. Следовательно, потенциал в точке B создавался тремя точечными зарядами.

При заземлении потенциал сферы обращается в ноль, поэтому изображение q_{2} пропадает. Поэтому изменение потенциала точки B равно:

\Delta \varphi_{B}=0-\frac{k q_{2}}{r}=-\frac{k q R}{r^{2}}. № 12

Условие

На расстоянии 2 R от центра незаряженного проводящего шара радиусом R расположен точечный заряд q . На какую величину изменится потенциал точки A , если шар удалить на бесконечность? Точка A не принадлежит шару.

20.png

Решение

В начальном состоянии заряд создавал в шаре два изображения. Первое изображение (заряд q_{1}=-\frac{q R}{2 R}=-\frac{q}{2}, \quad расположенный на расстоянии a=\frac{R^{2}}{2 R}=\frac{R}{2} от центра шара) вместе с реальным зарядом обеспечивало равенство нулю потенциала на поверхности шара. Второе изображение (заряд q_{2}=\frac{q R}{2 R}=\frac{q}{2} , расположенный в центре шара) обеспечивало необходимое значение потенциала шара. После удаления шара на бесконечно большое расстояние от заряда q эти изображения пропали. Поэтому изменение потенциала точки A равно:

\Delta \varphi_{A}=0-\frac{k q_{2}}{R}-\frac{k q_{1}}{\sqrt{R^{2}+(R / 2)^{2}}}=-\frac{k q}{2 R}\left(1-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) .