Метод изображений.: Электростатика

№ 9

Условие

Как изменится сила взаимодействия заряженной металлической сферы радиуса R с точечным зарядом q , который находится на расстоянии L от ее центра, если заряд сферы увеличить на Q ? (6.3.33)

Решение

14.png

Если заряд на сфере Q_{сф} , то потенциал сферы постоянен ( L>R ).

q' = -q\frac{R}{L}, \quad x = \frac{R^2}{L}. Из закона сохранения заряда:

Q_{сф} = q_1 + q' \quad \Rightarrow \quad q_1 = Q_{сф} + q\frac{R}{L}. 11.13 Найдём силу, действующую на заряд q :

11.16 F = kq \left( \frac{q\frac{R}{L}}{(L-x)^2} - \frac{(Q_{сф} + q\frac{R}{L})}{L^2} \right). F_1 , когда заряд сферы возрастает на Q , 1 слагаемое не меняется, когда сфера была незаряжена.

\Delta F = F_2 - F_1 = \frac{kqQ}{L^2}. Сила взаимодействия с q' не меняется.

17.png

Рассмотрим случай, когда заряд находится внутри сферы ( L<R ). Поставим заряд изображения снаружи для того, чтобы \varphi = 0 на поверхности:

\begin{aligned}

&\frac{q'}{x-R} + \frac{q}{R-L} = 0 \quad в точке A, \\

&\frac{q'}{x+R} + \frac{q}{R+L}=0 \quad в точке B.

\end{aligned} Находим:

q' = -q\frac{R}{L}, \quad x = \frac{R^2}{L}. Чтобы \varphi=const на поверхности сферы, достаточно добавить сферический слой. Тогда поле внутри сферы будет нулевым, а сила:

F = \frac{kqq'}{(x-L)^2} = const. При изменении заряда сферы сила меняться не будет.

№ 10

Условие

Металлическая сфера радиуса a заземлена, вокруг ее «экватора» находится кольцо R с зарядом Q . Найдите поле на «полюсе» сферы.

Решение

18.png

Изображение кольца – кольцо радиуса x = a^2/R , тогда поле от системы равно полю двух колец, на расстоянии a от плоскости колец.

\begin{aligned}

&\Delta q_i \rightarrow \Delta q_i', \\

&\Delta q_i' = - \Delta q_i \frac{a}{R}, \\

&Q' = -Q\frac{a}{R}.

\end{aligned} Поле от двух колец:

\begin{aligned}

&\vec{E_A} = \vec{E_1} + \vec{E_2} \quad \Rightarrow \\

&\Rightarrow \quad E_A = kQ \left( \frac{a}{(a^2 + R^2)^{3/2}} - \frac{\frac{a^2}{R}}{(a^2 + x^2)^{3/2}} \right) = \\

&= kQ a\left( \frac{}{(a^2 + R^2)^{3/2}} - \frac{a/R}{(a^2 + \frac{a^4}{R^2})^{3/2}} \right).

\end{aligned}