Движение заряженных частиц в постоянном электрическом поле: Часть 3

Видео

Конспект

Условие

Внутри гладкой непроводящей сферы массы M и радиуса R находятся две одинаковые бусинки массы m , имеющие заряд q . Расстояние между бусинками l . Найдите максимальную скорость сферы, если бусинки освободить.

Решение

Запишем закон сохранения энергии и импульса соответственно: \begin{cases}

\begin{aligned}

& 2\cdot \dfrac{mv^2}{2} + \dfrac{Mu^2}{2} + \dfrac{kq^2}{2R} = \dfrac{kq^2}{l} \\

& 2mv-Mu = 0

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad

\begin{cases}

\begin{aligned}

& v = \dfrac{Mu}{2m} \\

& \dfrac{mM^2u^2}{4m^2} + \dfrac{Mu^2}{2} = \dfrac{kq^2}{2} \cdot \left( \dfrac{2}{l} - \dfrac{1}{R} \right)

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad Mu^2 \left( \dfrac{M}{2m} + 1 \right) = kq^2 \left( \dfrac{2}{l} - \dfrac{1}{R} \right) \quad \Rightarrow \quad u = \sqrt{\dfrac{kq^22m(2R-l)}{M(M+2m)lR}}.

Ответ u = \sqrt{\dfrac{kq^22m(2R-l)}{M(M+2m)lR}}.

Условие

При колебании двух заряженных шариков, связанных с пружиной, длина пружины меняется от l_{1} до l_{2} . Длина недеформированной пружины l_{0} , заряд каждого шарика q . Определите жесткость пружины.

Решение

14s Из закона сохранения импульса скорости шариков в любой момент времени равны между друг другом. Для цикличности колебаний положения максимального и минимального растяжения пружины характеризуются нулевыми скоростями шариков. Тогда запишем закон сохранения энергии для них: \dfrac{\kappa (l_1 - l_0)^2}{2} + \dfrac{kq^2}{l_1} = \dfrac{\kappa (l_2 - l_0)^2}{2} + \dfrac{kq^2}{l_2} \quad \Rightarrow \quad \kappa \dfrac{(l_2 - l_0)^2 - (l_1 - l_0)^2}{2} = kq^2 \left( \dfrac{1}{l_1} - \dfrac{1}{l_2} \right) \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad \kappa = \dfrac{2kq^2(l_2-l_1)}{(l_2-l_1)(l_2+l_1+2l_0)l_1l_2} = \dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0} \dfrac{q^2}{l_1l_2(l_2+l_1+2l_0)}.

Ответ \kappa = \dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0} \dfrac{q^2}{l_1l_2(l_2+l_1+2l_0)}.

Условие

Сфера массы m , имеющая заряд q , в результате взрыва распадается на большое число одинаковых осколков, скорость которых в момент взрыва равна v и направлена вдоль радиуса сферы. Определите максимальную скорость осколков.

Решение

Найдём энергию заряженной сферы через плотность энергии: W = \int w(V)\operatorname{d} V = \int \dfrac{\varepsilon_0E^2(r)}{2}4\pi r^2 \operatorname{d}r = 0 + \int\limits_R^{\infty} \dfrac{\varepsilon_0}{2}\left( \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\right)^2 \dfrac{q^2}{r^4}4\pi r^2\operatorname{d}r = \left.-\dfrac{q^2}{8\pi \varepsilon_0 r} \right|_R^{\infty} = \dfrac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}.

Из закона сохранения импульса скорости всех осколков в каждый момент времени равны между собой. Тогда закон сохранения энергии будет выглядеть следующим образом: \sum \dfrac{m_iv_i^2}{2} + \dfrac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R} = \sum \dfrac{m_iu_i^2}{2} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{v^2}{2}\sum m_i + \dfrac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R} =\dfrac{u^2}{2}\sum m_i \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad u = \sqrt{v^2 + \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 Rm}}.

Ответ u = \sqrt{v^2 + \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 Rm}}.

Условие

Две одинаковые капли ртути радиуса R летят навстречу друг другу, имея на большом расстоянии скорость v . Происходит столкновение, в результате которого капли сливаются в одну. Определите количество выделившейся при столкновении теплоты, если:

a) капли имеют разноименные заряды Q и -Q ;

б) одна капля имеет заряд -q , другая Q .

Плотность ртути \rho , поверхностное натяжение \sigma .

Решение

16s 1) Из закона сохранения импульса скорость получившийся капли будет равна нулю: mv-mv=2mu \quad \Rightarrow \quad u = 0.

2) Запишем закон сохранения энергии: 2 \cdot \dfrac{mv^2}{2} + 2\sigma 4\pi R^2 + \dfrac{q_1^2}{8\pi \varepsilon_0 R} + \dfrac{q_2^2}{8\pi \varepsilon_0 R} = W + \sigma4 \pi R_1^2 + \dfrac{q'^2}{8 \pi \varepsilon_0 R_1}.

3) Из закона сохранения массы и несжимаемости жидкости: 2\cdot \dfrac{4}{3} \pi R^3 = \dfrac{4}{3} \pi R_1^3 \quad \Rightarrow \quad R_1 = \sqrt[3]{2} R.

4) Масса каждой капли: m = \rho \cdot \dfrac{4}{3} \pi R^3.

5) Из закона сохранения заряда: q' = q_1 + q_2.

а) В случае "а" q_1 = Q , q_2=-Q , тогда: W = \rho \cdot \dfrac{4}{3} \pi R^3v^2 + 8\sigma\pi R^2 + \dfrac{Q^2}{4\pi \varepsilon_0 R} - \sigma 4\pi R^2 \cdot 2^{2/3} = \dfrac{4}{3} R^3 \rho v^2 + 4\pi \sigma R^2 (2-2^{2/3}) + \dfrac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 R}.

б) В случае "б" q_1 = -q , q_2 = Q , тогда: W = \rho \dfrac{4}{3}\pi R^3v^2 + 4\pi \sigma R^2 (2-2^{2/3}) + \dfrac{(Q^2+q^2)}{8\pi\varepsilon_0 R} - \dfrac{(Q-q)^2}{8\pi\varepsilon 2^{1/3}R}.

Ответ а) W = \dfrac{4}{3} R^3 \rho v^2 + 4\pi \sigma R^2 (2-2^{2/3}) + \dfrac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 R} ; б) W = \rho \dfrac{4}{3}\pi R^3v^2 + 4\pi \sigma R^2 (2-2^{2/3}) + \dfrac{(Q^2+q^2}{8\pi\varepsilon_0 R} - \dfrac{(Q-q)^2}{8\pi\varepsilon 2^{1/3}R}.