Энергия взаимодействия заряженных частиц. Движение системы заряженных частиц.: Электростатика

№ 4

Условие

Два одинаковых маятника, состоящих из маленьких одинаково заряженных шариков и легких стержней длины l , одновременно отпускают из горизонтального положения без начальной скорости. При угле \alpha=\pi / 6 к вертикали шарики маятников достигают максимальной скорости. Определите ее величину, если ускорение свободного падения g .

Решение

1.png

В моменте, когда шарики достигают своей максимальной скорости, тангенциальное ускорение становится равным нулю ( a_{\tau}=0 ), поскольку вначале шарики ускорались, а затем стали замедляться.

Напишем закон Ньютона в проекциях на Ox :

\begin{aligned}

&0 = mg\sin \alpha - F_k \cos \alpha \quad \Rightarrow \\

&\Rightarrow \quad mg \sin \alpha = \frac{kq^2}{(2l \sin \alpha)^2} \cos \alpha \quad \Rightarrow \\

&\Rightarrow \quad kq^2 = \frac{4mgl^2\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}.

\end{aligned} Поскольку вектор силы натяжения в процессе движения шариков перпендикулярен вектору перемещения, то её работа равна нулю ( A_T=0 ), поэтому энергия системы сохраняется:

2mgl\cos \alpha = 2\frac{mv^2}{2} + \frac{kq^2}{2l\sin \alpha} \quad \Rightarrow \quad v^2 = 2gl \cos \alpha - g \cdot 2l \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} \quad \Rightarrow \quad v^2 = 2gl \frac{\cos 2 \alpha}{\cos \alpha}, при \alpha = \frac{\pi}{6} :

v=\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}gl}. № 5

Условие

Три частицы, с зарядом q и массы m каждая, находятся на прямой. Первые две удерживают на расстоянии r друг от друга, а третью на много большем чем r расстоянии от них. Частицы одновременно отпускают. Найдите наименьшее расстояние между второй (средней) и третьей частицей. Какими станут скорости частиц v_{1}, v_{2} и v_{3} через очень большое время?

Решение

6.6 1. Первая и вторая частицы после их отпускания летят в разные стороны с равными скоростями из закона сохранения импульса. После прекращения их взаимодействия из закона сохранения энергии мы можем найти их скорости:

\frac{kq^2}{r} = 2\frac{mv^2}{2} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{kq^2}{mr}}. 2. В какой-то момент времени начинают взаимодействовать вторая и третья частицы. При их максимальном сближении на расстояние R из теоремы Кёнига скорости частиц должны быть одинаковыми.

\begin{cases}

\begin{aligned}

&mv=2mu \quad - \quad З.С.И. \\

& \frac{mv^2}{2} = 2 \frac{mu^2}{2} + \frac{kq^2}{R} \quad - \quad З.С.Э.

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \frac{kq^2}{2mr} = \frac{kq^2}{4mr} + \frac{kq^2}{R} \quad \Rightarrow \quad R=4r. 3. После сближения вторая и третья частицы начинают отталкиваться и расходиться на \infty аналогично ситуации с первой и второй частицами в начале. Закон сохранения импульса и энергии даёт <<обмен скоростями>>, поэтому:

v_1 = \sqrt{\frac{kq^2}{mr}}, \quad v_2 = 0, \quad v_3 = \sqrt{\frac{kq^2}{mr}}.