Энергия взаимодействия заряженных частиц. Движение системы заряженных частиц.: Электростатика

№ 6

Условие

Маленький шарик массы т подвешен на пружине жесткости k и несет заряд Q . В начальный момент шарик удерживают так, что пружина не деформирована. Под шариком на расстоянии h лежит такой же шарик с зарядом -Q . Верхний шарик отпускают. При каком минимальном значении Q нижний шарик подпрыгнет? Ускорение свободного падения g .

1.png

Решение

2.png

Условие отрыва нижнего шарика от земли - нулевая сила нормальной реакции опоры ( N=0 ), а также нулевая скорость у верхнего шарика в крайнем положении.

Напишем закон Ньютона для нижнего шарика в момент отрыва:

\frac{kq^2}{x^2} = mg. \quad (1) Поскольку система является замкнутой относительно внешних сил, то действует закон сохранения энергии:

\begin{aligned}

&mgh - \frac{kQ^2}{h} = mgx - \frac{kq^2}{x} + \frac{\kappa (h-x)^2}{2} \quad \Rightarrow \\

&\Rightarrow \quad mg(h-x) - \frac{\kappa (h-x)^2}{2} + \frac{kQ^2}{2} \cdot \frac{h-x}{hx}.

\end{aligned} Так как x \neq h , то сокращаем ( h-x ) и подставляем (1):

mg - \frac{\kappa (h-x)}{2} + mg \frac{x}{h} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\kappa h - 2mg}{\kappa h + 2mg} \cdot h. \quad (\kappa h > 2mg) Тогда окончательный ответ:

Q_{\min} = \sqrt{\frac{mg}{k}} \cdot \frac{\kappa h - 2mg}{\kappa h + 2mg} \cdot h. № 7

Условие

На горизонтальной плоскости на расстоянии R друг от друга поместили два тела массы m , имеющие заряд Q . В результате электрического взаимодействия тела начинают двигаться по плоскости. Какое расстояние пройдет каждое из тел, если коэффициент трения тел о плоскость равен \mu ? Какую максимальную скорость приобретут тела в процессе движения?

Решение

6.8 Поскольку движение тел симметрично из закона сохранения импульса, то тела остановятся тогда, когда их скорость будет равна нулю. Тогда работа силы трения будет равна изменению энергии взаимедействия данных зарядов:

\begin{cases}

\begin{aligned}

& A_{тр} = \frac{kQ^2}{l} - \frac{kQ^2}{R} \\

& A_{тр} = - \mu mg (l-R)

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \frac{kQ^2}{lR}(R-l) = \mu mg (R-l) \quad \Rightarrow \quad l = \frac{kQ^2}{\mu mg R}. Тогда каждый из зарядов прошёл путь:

x=\frac{l-R}{2} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{kQ^2}{\mu mr R} - R\right) = \frac{R}{2} \cdot \left( \frac{kQ^2}{\mu mg R^2} - 1 \right). Тела достигнут максимальной скорости в тот момент, когда \sum \vec{F} = \vec{0} , то есть \vec{a} = \vec{0} .

Напишем закон Ньютона для данного момента:

\mu mg = \frac{kQ^2}{S^2} \quad \Rightarrow \quad S^2 = \frac{kQ^2}{\mu mg}, \quad (1) где S - расстояние между зарядами в данный момент.

Теперь запишем работу, которую на данный момент совершила сила трения:

\begin{cases}

\begin{aligned}

&A_{тр} = \frac{2mv^2}{2} + \frac{kQ^2}{S} - \frac{kQ^2}{R}

&A_{тр} = -\mu mg (S-R)

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad v^2 = \mu g \frac{(S-R)^2}{R}. \quad (2) Подставляя (1) в (2), получаем:

v = \sqrt{\mu g R} \cdot \left( \sqrt{\frac{kQ^2}{\mu mg R^2}} - 1 \right).