Теорема единственности. Свойство экранировки. Метод изображений. Взаимодействие точечного заряда и проводящей плоскости

Метод изображений. Видео

Метод изображений

Теперь рассмотрим систему, состоящую из проводника с потенциалом \varphi и точечных зарядов q_{i} . Теорема единственности утверждает, что распределение поля в такой системе зарядов единственно. Поэтому, если мы сможем заменить проводник на набор вспомогательных зарядов так, чтобы потенциал в точках, где ранее была поверхность проводника, остался равен \varphi , при этом не поменяем набор и расположение зарядов q_{i} , то сохранится и поле в области вне проводника. Подобранные заряды называются зарядами-изображениями, а сам метод подбора - методом изображений. Метод изображений позволяет найти поле в системе, в которой есть проводники, даже если мы не знаем распределение заряда на проводниках.

Взаимодействие точечного заряда и проводящей плоскости

Пример 3

Условие

Точечный заряд q находится на расстоянии l от бесконечной проводящей плоскости. Какая сила действует на заряд со стороны плоскости?

Решение

Заряд создает вокруг себя электрическое поле, под действием которого на поверхности пластины возникают индуцированные заряды (это распределение не будет равномерным). Проанализируем картину силовых линий. Отметим, что поле в произвольной точке можно представить в виде суперпозиции полей от заряда q и от зарядов на пластине:

Нам же нужно получить поле зарядов справа от пластины:

Заряды на пластине создают в правой полуплоскости такое же поле, какое создает заряд -q , расположенный на расстоянии l слева от плоскости (то есть заряд -q - заряд-изображение).

Отсюда получаем

E_{\sigma}=\frac{k q}{(2 l)^{2}}, \quad F=q E_{\sigma}=\frac{k q^{2}}{4 l^{2}}.

Отметим, что силовые линии поля направлены к пластине, а заряд - положительный. Значит, заряд притягивается к пластине.

Ответ F=\frac{k q^{2}}{4 l^{2}}.

Замечание.

Отметим также, что заряд-изображение можно подобрать, исходя из потенциала пластины (а не из картины силовых линий).

Пластина металлическая. Значит, потенциал в любой точке пластины должен быть одинаковым (обозначим \varphi ). С другой стороны, мы можем выбрать потенциал на бесконечности \varphi_\infty= 0 . Тогда потенциал точечного заряда на расстоянии r от него:

\varphi (r) = \frac{kq}{r}.

Для пластины же в таком случае потенциал в каждой точке пластины \varphi=0 . При подборе заряда-изображения необходимо удовлетворить условия нулевого потенциала на пластине. Очевидно, это возможно только в том случае, когда заряд-изображение равен -q и находится в левой полуплоскости на расстоянии l от пластины.

Пример 4

Условие

Точечный заряд q находится на расстоянии l от бесконечной проводящей плоскости. Определите поверхностную плотность заряда на плоскости в точке A на расстоянии 2 l от нее, как показано на рисунке.

Решение

Вблизи поверхности проводника напряженность электрического поля:

E_A = \frac{|\sigma_A|}{\varepsilon_0}.

Значит, чтобы найти поверхностную плотность, достаточно определить напряженность электрического поля вблизи точки A :

E_A=2\frac{kq}{(2l)^2}\cos 60^{\circ} = \frac{kq}{4l^2}=\frac{-\sigma_A}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad \sigma_A=-\varepsilon_0\frac{kq}{4l^2}=-\frac{q}{16\pi l^2}.

Ответ \sigma_A=-\frac{q}{16\pi l^2}.