Потенциал. Электроемкость. Конденсаторы. Энергия конденсатора. Часть 1.: Электростатика

№ 9

Условие

Определите емкость систем конденсаторов, изображенных на рисунке. (6.4.9 Савченко)

13.png

Решение

а)

14.png

Из симметрии можно сразу отметить, что по напряжение среднего конденсатора равно нулю, поэтому вклад в общую ёмкость системы он не вносит. Составим две эквивалентные цепи:

15.png

Воспользуемся второй и найдём общую ёмкость:

\begin{aligned}

&C_1 = 2C, \\

&C_2 = 4C,

\end{aligned} \quad \Rightarrow \quad C_o = \frac{C_1C_2}{C_1 + C_2} = \frac{4}{3}C. r0.45

б)

16.png

Воспользуемся законом сохранения заряда, а также методом потенциалов:

\left.

\begin{cases}

\begin{aligned}

&-q_1 + q_2 + q_3 = 0 \\

&U = \frac{q_1}{C} + \frac{q_2}{2C} \\

&0 = \frac{q_1}{C} + \frac{q_3}{C} - \frac{q_2}{2C}

\end{aligned}

\end{cases} \right\} \quad \Rightarrow \quad

q_2 = \frac{4}{3} q_1. Затем найдём общую ёмкость системы:

C_o = \frac{q_1 + q_2}{U} = \frac{q_1 + \frac{4}{3}q_1}{\frac{q_1}{C} + \frac{4}{3} \frac{q_1}{2C}} = \frac{7}{5} C. в) Поскольку данная цепь бесконечная, то от того, что мы добавим одно звено, ничего не изменится, тогда эквивалентная цепь с учётом того, что C_{\infty} = C_o :

13.18 Тогда:

C_{\infty} = \frac{(C+C_{\infty})C}{C + C + C_{\infty}} \quad \Rightarrow \quad C_{\infty}^2 + CC_{\infty} - C^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad C_{\infty}\frac{\sqrt{5}-1}{2} \cdot C. r0.4

г) Соединим точки с одинаковыми потенциалом, тогда получится эквивалентная цепь:

18.png

13.20 Общая электроёмкость данной цепи:

\frac{1}{C_o} = \frac{1}{3C} + \frac{1}{6C} + \frac{1}{3C} = \frac{5}{6C} \quad \Rightarrow \quad C_o = \frac{6}{5} C. № 10

Условие

Определите разность потенциалов между точками A и B на схеме. Какой станет эта разность потенциалов и полная емкость системы, если между точками A и B включить резистор с сопротивлением R ? (1001,12.59)

20.png

Решение

21.png

Запишем ЭДС цепи двумя способами:

\begin{aligned}

&1) \quad \mathcal{E} = \frac{q_1}{C_1} + \frac{q_1}{C_2}, \quad (1) \\

&2) \quad \mathcal{E} = \frac{q_3}{C_3} + \frac{q_3}{C_4}. \quad (2)

\end{aligned} Воспользуемся методом потенциалов:

\frac{q_1}{C_1} + U_{AB} - \frac{q_3}{C_3} = 0 \quad \Rightarrow \quad U_{AB} = \frac{q_3}{C_3} - \frac{q_1}{C_1}. \quad (3) Выражаем q_1 и q_2 соответственно из (1) и (2) и подставляем в (3):

U_{AB} = \mathcal{E} \frac{C_3C_4}{C_3+C_4} \cdot \frac{1}{C_3} - \mathcal{E} \frac{C_1C_2}{C_1+C_2} \cdot \frac{1}{C_1} = \mathcal{E} \frac{C_2C_4-C_1C_3}{(C_3+C_4)(C_1+C_2)}. 22.png

Напряжение между точками A и B равно нулю тогда, когда:

C_2C_4 = C_1C_3 \quad или \quad \frac{C_1}{C_3} = \frac{C_2}{C_4} \quad или \quad \frac{C_1}{C_2} = \frac{C_3}{C_4} - условие "сбалансированного" моста. Условие такое же, как и в случае с резисторами. Общая электроёмкость станет:

C_o = \frac{(C_1 + C_3)(C_2 + C_4)}{C_1 + C_2 + C_3 + C_4}.