Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса.: Электростатика

№ 6

Условие

Используя теорему Гаусса, определите напряженность электрического поля:

а. \quad Внутри и вне равномерно заряженной сферы, если полный заряд сферы Q (на лекции);

b. \quad Равномерно заряженной бесконечной нити, если заряд единицы длины нити \tau ;

c. \quad Равномерно заряженной бесконечной плоскости, если поверхностная плотность заряда \sigma (на лекции);

d. \quad Внутри и вне равномерно заряженного шара радиуса R , если объемная плотность заряда \rho ; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до центра шара;

е. \quad Внутри и вне равномерно заряженного цилиндра радиуса R , если объемная плотность заряда \rho ; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до оси цилиндра;

f. \quad Внутри и вне равномерно заряженной пластины толщины h , если объемная плотность заряда \rho ; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до центральной плоскости пластины.

Решение

Теорема Гаусса:

\oint E_{\perp} dS = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum\limits_i q_i. a. Сфера:

12.png

Внутри сферы ( x<R ):

\sum\limits_i q_i = 0 \quad \Rightarrow \quad \Phi = 0 \quad \Rightarrow \quad E=0. Снаружи ( x>R ):

E \cdot 4\pi x^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E=k\frac{Q}{x^2}. Это доказывает то, что напряжённость электрического поля сферы точно такое же, как и напряжённость поля точечного заряда.

b. Нить:

13.png

Элементарный заряд:

dq = \tau dl. Окружим нить цилиндром радиуса r и воспользуемся теоремой Гаусса:

E \cdot 2 \pi l r = \frac{\tau l}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E= \frac{\tau}{2\pi \varepsilon_0 r}. c. Плоскость:

14.png

Элементарный заряд:

dq = \sigma dS. Воспользуемся теоремой Гаусса:

2E \cdot S = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E= \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}. d. Шар:

15.png

Напишем теорему Гаусса сначала для напряжённости внутри шара ( x<R ):

E \cdot 4 \pi x^2 = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho \cdot \frac{4}{3} \pi x^3 \quad \Rightarrow \quad E = \frac{\rho x}{3 \varepsilon_0}. А затем для напряжённости электрического поля вне ( R>x ):

E \cdot 4\pi x^2 = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho \frac{4}{3} \pi R^3 \quad \Rightarrow \quad E = \frac{\rho}{3\varepsilon_0} \cdot \frac{R^3}{x^2} = \frac{kQ}{x^2}, как поле точечного заряда.

e. Сплошной цилиндр:

16.png

Как и в случае с шаром, напишем теорему Гаусса для случая внутри цилиндра ( x<R ):

E \cdot 2\pi xh = \frac{1}{\varepsilon_0} \pi x^2 h \rho \quad \Rightarrow \quad E=\frac{\rho x}{2 \varepsilon_0}. И для случая вне ( x>R ):

E \cdot 2\pi x h = \frac{1}{\varepsilon_0} \pi R^2 h \rho \quad \Rightarrow \quad E=\frac{\rho R^2}{2 \varepsilon_0 x}. f. Пластина:

3.18 Теорема Гаусса для напряжённости поля внутри пластины ( x<\frac{h}{2} ):

2 E \cdot S = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho S 2x \quad \Rightarrow \quad E=\frac{\rho x}{\varepsilon_0}. И вне пластины ( x>\frac{h}{2} ):

2E \cdot S = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho S h \quad \Rightarrow \quad E = \frac{\rho h}{2 \varepsilon_0}. Отметим, что при h \rightarrow 0 - \rho h = \sigma , и поле от плоскости тоже стремится к нулю.

3.19