Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса.: Электростатика

№ 7

Условие

Найдите распределение объемной плотности электрического заряда:

a) \quad в шаре радиуса R (напряженность электрического поля E_{0} в шаре направлена вдоль его радиуса и не меняется по модулю);

б) \quad в бесконечном цилиндре радиуса R (напряженность электрического поля E_{0} в цилиндре направлена вдоль его радиуса и не меняется по модулю).

Решение

a) Шар:

17.png

Возьмём тонкий сферический слой r , толщины \Delta r \rightarrow 0 . Напишем для неё теорема Гаусса:

\begin{aligned}

&E_0 \cdot (4\pi (r+\Delta r)^2 - 4\pi r^2) = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho(r) \cdot 4\pi r^2 \Delta r \quad \Rightarrow \\

&\Rightarrow \quad E_0 \cdot (2r\Delta r + (\Delta r^2 \rightarrow 0)) = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho(r) \Delta r \quad \Rightarrow \\

&\Rightarrow \quad \rho (r) = \frac{2\varepsilon_0 E_0}{r}.

\end{aligned}

б) Цилиндр:

18.png

Возьмём тонкий цилиндрический слой, высоты h , радиуса r и толщины \Delta r \rightarrow 0 . Напишем для неё теорему Гаусса:

E_0 \cdot (2 \pi (r + \Delta r) \cdot h - 2 \pi r h) = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho (r) \cdot 2 \pi r h \Delta r \quad \Rightarrow \quad \rho (r) = \frac{\varepsilon_0 E_0}{r}. № 8

Условие

С какой силой расталкиваются равномерно заряженные грани куба? тетраэдра? Поверхностная плотность заряда граней \sigma , длина ребра l .

Решение

1) Куб:

19.png

Сила, действующая на одну грань:

F=\sigma \Phi_5, где \Phi_5 - поток через выделенную грань от пяти остальных через неё.

Суммарный поток найдём, окружив кубом большего размера по теореме Гаусса:

\Phi = \frac{q}{\varepsilon_0}=\frac{6\sigma l^2}{\varepsilon_0}. Из симметрии поток через одну грань:

\Phi_1 = \frac{\Phi}{6} = \frac{\sigma l^2}{\varepsilon_0}, и

\Phi_1 = \Phi_{от выдел. грани} + \Phi_5 \quad \Rightarrow \quad \Phi_5 = \Phi_1 - \Phi_{от выдел. грани} = \frac{\sigma l^2}{\varepsilon_0} - \frac{\sigma l^2}{2 \varepsilon_0} = \frac{\sigma l^2}{2 \varepsilon_0}, тогда

F = \frac{\sigma^2 l^2}{2 \varepsilon_0}. 2) Тетраэдр:

20.png

Окружаем симметрично тетраэдром чуть большего размер. Тогда суммарный поток через него:

\Phi = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{4\sigma S}{\varepsilon_0}. Тогда поток через одну грань:

\Phi_1 = \frac{\Phi}{4} = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0}, и

\Phi_1 = \Phi_{от 3-ч остальных} + \Phi_{собств.} \quad \Rightarrow \quad \Phi_{от 3-х остальных} = \frac{\sigma S}{2 \varepsilon_0}. Сила, действующая на одну грань:

F = \sigma \Phi_{от 3-х остальных} = \frac{\sigma^2 S}{2 \varepsilon_0} = \frac{\sqrt{3}\sigma l^2}{8 \varepsilon_0}.