Энергия конденсатора.: Электростатика

№ 4

Условие

Плоский конденсатор с площадью пластин S имеет заряд q . Докажите, что при раздвижении пластин на расстояние x нужно совершить работу, равную объему пространства, которое заполнит вновь созданное электрическое поле напряженности E , умноженному на плотность энергии \varepsilon_{0} E^{2} / 2 . (6.5.10)

Решение

13.39 Поскольку заряд пластин остаётся тем же, то работу будем считать по следующей формуле:

A = \frac{q^2}{2C} - \frac{q^2}{2C_0}, где

C = \frac{\varepsilon_0S}{d+x}, \quad C_0 = \frac{\varepsilon_0S}{d}. Тогда:

A = \frac{q^2}{2\varepsilon_0S} (d+x-d) = \frac{q^2}{2\varepsilon_0S} x = \frac{q^2}{2\varepsilon_0S^2} \cdot \Delta V, где \Delta V = xS .

Напряжённость электрического поля между конденсаторами:

E = \frac{q}{S\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad A = \frac{\varepsilon_0E^2}{2} \Delta V. Для плоского конденсатора его потенциальная энергия:

W = w \cdot V_{конденс.}, где w = \frac{\varepsilon_0E^2}{2} .

Утверждение доказано!

№ 5

Условие

Оцените, какую работу нужно совершить, чтобы из системы двух параллельных заземленных пластин вытянуть наполовину находящуюся между ними проводящую пластину? Заряд вытягиваемой пластины Q , расстояние между ней и крайними пластинами a и b . Площадь каждой пластины S . (6.5.28)

5.png

Решение

Эквивалентная схема:

13.40 Начальная электроёмкость системы:

C_o = C_1 + C_2 = \frac{\varepsilon_0S}{a} + \frac{\varepsilon_0 S}{b} = \varepsilon_0S \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right). Конечная:

C = \frac{\varepsilon_0S}{2} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right). Тогда работа будет:

A = \Delta W = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0S} \left( \frac{2ab}{a+b} - \frac{ab}{a+b} \right) = \frac{Q^2ab}{2\varepsilon_0S(a+b)}. № 6

Условие

Три одинаковые плоские металлические пластины A, B и C площади S каждая расположены параллельно друг другу на расстояниях d_{1} и _{2} . Пластины изолированы, и на пластинах B и C находятся заряды q и q , а пластина A не заряжена. Пластины A и C соединили через сопротивление, замкнув ключ K . Найти количество теплоты, выделившееся на сопротивлении. (3.69 Меледин)

7.png

Решение

Начальная энергия системы:

W_1 = \frac{q^2}{2C_0} = \frac{q^2d_1}{2\varepsilon_0S}. После соединения пластин резостором, эквивалентная схема будет выглядеть следующим образом:

13.41 Общая электроёмкость системы:

C = C_1 + C_2 = \frac{\varepsilon_0 S}{d_1} + \frac{\varepsilon_0 S}{d_2} = \frac{\varepsilon_0 S(d_1+d_2)}{d_1d_2}. Тогда энергия системы:

W_2 = \frac{q^2}{2C} = \frac{q^2d_1d_2}{2\varepsilon_0S(d_1+d_2)}. Изменение энергии системы - та теплота, которая выделилась на резисторе:

Q = W_2 - W_1 = \frac{q^2d_1}{2\varepsilon_0S} \left( 1 - \frac{d_2}{d_1+d_2} \right) = \frac{q^2d_1^2}{2\varepsilon_0S(d_1+d_2)}.